Örökifjú tulajdonság

Az örökifjú tulajdonság egy valószínűségszámításban használt fogalom.

A X valószínűségi változó örökifjú tulajdonságú (vagy röviden örökifjú), ha minden $a\geq 0$ és $b\geq 0$ számra teljesül, hogy

$P(X>a+b\,\mid \,X>a)=P(X>b)$ vagy $P(X\geq a+b\,\mid \,X\geq a)=P(X\geq b)$ . (A kettő megkülönböztetésének folytonos valószínűségi változóknál nincs jelentősége.)

Szemléletesen, ha például a valószínűségi változó egy eszköz élettartama, akkor az örökifjú tulajdonság azt jelenti, hogy a valamilyen életkorú eszköz ugyanakkora eséllyel nem romlik el még t ideig, amekkora eséllyel nem romolna el t ideig, ha új lenne.

Példák

Folytonos valószínűségi változó

Az exponenciális eloszlású valószínűségi változó örökifjú tulajdonságú.

Bizonyítás:

Mivel $P(X<x)=1-e^{-\lambda x}$ minden $x\geq 0$ számra, ezért $P(X>x)=e^{-\lambda x}$ minden $x\geq 0$ számra, és így

P(X>a+b\,\mid \,X>a)={\frac {P(X>a+b\,\cap \,X>a)}{P(X>a)}}={\frac {P(X>a+b)}{P(X>a)}}={\frac {e^{-\lambda (a+b)}}{e^{-\lambda a}}}=e^{-\lambda b}=P(X>b)

.

Megmutatható, hogy csak az exponenciális eloszlás örökifjú tulajdonságú a folytonos eloszlások közül, vagyis ha egy folytonos valószínűségi változó örökifjú tulajdonságú, akkor exponenciális eloszlást követ.

Diszkrét valószínűségi változó

A geometriai eloszlás is örökifjú tulajdonságú.

Ha $P(X=n)=p(1-p)^{n}$ , abban az esetben $P(X\geq n)=(1-p)^{n}$ , ugyanis

P(X\geq n)=\sum _{i=n}^{\infty }p(1-p)^{i}=(1-p)^{n}\sum _{i=0}^{\infty }p(1-p)^{i}=(1-p)^{n}{\frac {p}{1-(1-p)}}=(1-p)^{n}

.

Ezért

P(X\geq a+b\,\mid \,X\geq a)={\frac {P(X\geq a+b\,\cap \,X\geq a)}{P(X\geq a)}}={\frac {P(X\geq a+b)}{P(X\geq a)}}={\frac {(1-p)^{a+b}}{(1-p)^{a}}}=(1-p)^{b}=P(X\geq b)

.

Ha pedig $P(X=n)=p(1-p)^{n-1}$ , abban az esetben $P(X>n)=\sum _{i=n+1}^{\infty }p(1-p)^{i-1}=\sum _{i=n}^{\infty }p(1-p)^{i}=(1-p)^{n}$ , a fentihez hasonlóan. Ebből következően

P(X>a+b\,\mid \,X>a)={\frac {P(X>a+b\,\cap \,X>a)}{P(X>a)}}={\frac {P(X>a+b)}{P(X>a)}}={\frac {(1-p)^{a+b}}{(1-p)^{a}}}=(1-p)^{b}=P(X>b)

.

A diszkrét eloszlások közül a geometriai az egyetlen örökifjú tulajdonságú.

Források