Tömegközépponti rendszer

Tömegközépponti rendszernek hívjuk a fizikában azt az inerciarendszert, amelyben a rendszert alkotó részek (tömegek, részecskék) teljes impulzusa nulla. Ez az a vonatkoztatási rendszer, amelyben a rendszer tömegközéppontja nyugalomban van.

Általános tulajdonságok

Klasszikus fizika

N tömegpont esetén, amelyek tömege és sebessége rendre m_i és v_i (i=1,2,...,N), a rendszer tömegközéppontjának sebessége:

$\mathbf {V} ={\frac {\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}}{\sum _{i}m_{i}}}$

Ha egy Galilei-transzformációt végzünk ezzel a sebességgel úgy, hogy a kapott tömegközépponti rendszerben a tömegpontok sebessége

$\mathbf {v} '_{i}=\mathbf {v} _{i}-\mathbf {V} ,$

legyen, akkor ebben a rendszerben a részecskék teljes impulzusa nulla lesz:

$\sum _{i}\mathbf {p} '_{i}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} '_{i}=\sum _{i}m_{i}(\mathbf {v} _{i}-\mathbf {V} )=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}-\sum _{i}m_{i}{\frac {\sum _{j}m_{j}\mathbf {v} _{j}}{\sum _{j}m_{j}}}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}-\sum _{j}m_{j}\mathbf {v} _{j}=0$

Speciális relativitáselmélet

A speciális relativitáselméletben a tömeg, energia és impulzus között a következő összefüggés van:

$m^{2}=\left({\frac {E}{c^{2}}}\right)^{2}-\left({\frac {\mathbf {p} }{c}}\right)^{2}\,\!$

Lorentz-transzformáció hatására az új vonatkoztatási rendszerben is érvényes marad ez a kifejezés az új mennyiségek között, sőt a tömeg értéke is változatlan marad. Ezért az ebben a kifejezésben szereplő tömeget invariáns tömegnek hívjuk. A speciális relativitáselmélet más tömegfogalmat nem is használ, a „relativisztikus tömeg” a fenti összefüggés energiatagjának felel meg, ezért helyette mindig energiáról beszélünk.

A fenti kifejezés N részecske esetén is érvényes marad a következőképpen:

$M^{2}=\left({\frac {\sum _{i}E_{i}}{c^{2}}}\right)^{2}-\left({\frac {\sum _{i}\mathbf {p} _{i}}{c}}\right)^{2}\,\!$

ahol M a teljes rendszer invariáns tömege. Ha a tömegközépponti rendszerre térünk át, ahol az impulzusok összege nulla, akkor

$M^{2}=\left({\frac {\sum _{i}E_{0},i}{c^{2}}}\right)^{2}=\left({\frac {E_{tkp}}{c^{2}}}\right)^{2}$

látjuk, hogy a teljes rendszer invariáns tömege egy állandó szorzótól eltekintve a tömegközépponti rendszer teljes energiájával egyezik meg, amelyet egyszerűen tömegközépponti energiának hívunk.

Kétrészecske-rendszer

Részecskefizikai kísérletekben és részecskegyorsítók tervezésekor különös jelentősége van a két részecske esetének.

$M^{2}c^{4}=E_{tkp}^{2}=(E_{1}+E_{2})^{2}-(\mathbf {p_{1}} +\mathbf {p_{2}} )^{2}c^{2}=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2E_{1}E_{2}(1-\beta _{1}\beta _{2}\cos \theta )$

ahol β_i=v_i/c, θ pedig a két részecske impulzusa által bezárt szög.

Abban a rendszerben, amelyikben a második részecske nyugalomban van, azaz az úgynevezett labor rendszerben:

$E_{tkp}^{2}=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2E_{1,lab}m_{2}$

Ezt a kifejezést használhatjuk annak meghatározására, hogy milyen energiájú beeső nyalábra van szükségünk álló céltárgyas kísérletben, ha valamekkora tömegközépponti energiát el akarunk érni. Az utóbbi határozza meg ugyanis az elérhető fizikai célokat.

Források

• ↑ PDG:Center-of-mass energy and momentum: 46.2. Center-of-mass energy and momentum. pdg.lbl.gov (Hozzáférés: 2014. november 22.)

További információk

• Particle Data Group. pdg.lbl.gov (Hozzáférés: 2014. november 22.)