Ackermann-halmazelmélet

Az Ackermann-halmazelmélet (rövidítés: A) egy alternatív halmazelmélet, amelyet Wilhelm Ackermann dolgozott ki és publikált 1956-ban. Ackermann axiómarendszere később a standard Zermelo-Fraenkel halmazelmélet konzervatív kiterjesztésének bizonyult. Az A elmélet osztályrealista, vagyis a Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélethez (NBG) hasonlóan megengedi kötött osztályváltozók használatát.

Nyelvi keretek

Az A elmélet standard elsőrendű nyelvet használ két nem-logikai primitívummal: $\in$ kétargumentumú relációjel, M pedig egyargumentumú. A változók értékei a nyelv szándékolt interpretációjában osztályok. Az osztályok egy része halmaz, a többi valódi osztály. A változók alapértelmezésben nagybetűsek. „X$\in$Y” szándékolt jelentése: „az X osztály eleme az Y osztálynak”; „M(X)” szándékolt jelentése: „az X osztály halmaz”.

A kisbetűs változókat halmazokra korlátozzuk. Meghatározásuk:

$\forall x\ \varphi (x)\$	$\ \Leftrightarrow$def	$\forall X\ (M(X)\rightarrow \varphi (X))$
$\exists x\ \varphi (x)$	$\Leftrightarrow$def	$\exists X\ (M(X)\land \varphi (X))$
$\varphi (x)$	$\Leftrightarrow$def	$M(X)\land \varphi (X)$

Axiómák

Az A elmélet axiómái:

Extenzionalitás: Különböző osztályok legalább egy elemükben eltérnek. Formulával:

$\forall X\ \forall Y\ (X=Y\ \leftrightarrow \ \forall Z\ (Z\in X\leftrightarrow Z\in Y))$

Osztálykomprehenzió: Tetszőleges elsőrendű tulajdonság (X-ben nyitott formula tetszőleges paraméterekkel) meghatároz egy osztályt, amelynek elemei halmazok. Formulasémával:

$\forall U_{1}\dots \forall U_{n}\ \exists Y\ \forall X\ (X\in Y\ \leftrightarrow \ (M(X)\land \varphi (X,U_{1},\dots ,U_{n})))$

(U₁, …, U_n a paraméterek; $\varphi$ tetszőleges formulát rövidít, amelyben az X,U₁, …, U_n változókon kívül más változónak nincs szabad előfordulása; Y a tulajdonság által meghatározott osztály.)

Halmazkomprehenzió: Ha egy elsőrendű tulajdonság (X-ben nyitott nyitott formula)

1. összes paramétere halmazváltozó,
2. nem tartalmazza az M predikátumot és
3. az adott paraméterekkel csak halmazokra igaz,

akkor az általa meghatározott osztály halmaz. Formulasémával:

$\forall u_{1}\dots \forall u_{n}\ (\forall X\ (\varphi (X,u_{1},\dots ,u_{n})\rightarrow M(X))\$

$\rightarrow \ \exists y\ \forall X\ (X\in Y\ \leftrightarrow \ (M(X)\land \varphi (X,u_{1},\dots ,u_{n}))))$

(Itt u₁, …, u_n a paraméterek; $\varphi$ tetszőleges formulát rövidít, amelyben az X,u₁, …, u_n változókon kívül más változónak nincs szabad előfordulása; y a tulajdonság által meghatározott halmaz.)

Elemaxióma: Halmazok elemei halmazok. Formulával:

$\forall X\ \forall y\ (X\in y\rightarrow M(X))$

Részhalmazaxióma: Halmazok részhalmazai halmazok. Formulával:

$\forall X\ \forall y\ (\forall Z\ (Z\in X\rightarrow Z\in y)\rightarrow M(X))$

Halmazregularitás: Ha egy halmaznak van eleme, akkor olyan eleme is van, amellyel nincs közös eleme. Formulával:

$\forall x\ (\exists y\ y\in x\ \rightarrow \ \exists y\ (y\in x\land \lnot \exists z\ (z\in x\land z\in y)))$

A paradoxonok elkerülése

Cantor-paradoxon

Tekintsük az összes halmaz V osztályát:

$V=$_def$\{x:x=x\}$

Ha nem lennének valódi osztályok, akkor a tautologikus „X = X” tulajdonság csak halmazokra lenne igaz; következésképpen a halmazkomprehenziós séma miatt V halmaz volna. Később látni fogjuk, hogy ekkor V hatványosztálya is halmaz lenne; így előállna a Cantor-paradoxon. Következésképpen vannak valódi osztályok, és V egy közülük. (Ha a paradoxon kikényszerítésére törekedve V-t az {x: M(x)} absztrakcióval vezettük volna be, akkor az M jel szerepeltetése miatt nem lenne alkalmazható a halmazkomprehenzió.)

A példának van egy nagyon fontos következménye. Ha A-ban definiálható volna az M jel, akkor a definiáló formulára alkalmazhatnánk a halmazkomprehenziót, V tehát halmaznak bizonyulna, és így visszajutnánk a Cantor-paradoxonhoz. Tehát M nem lehet definiálható. Így például a következő definíciós kísérletnek is hibásnak kell lennie:

^*$M(X)\Leftrightarrow$_def$\exists Y\ X\in Y$

Ez a meghatározás korrekt NBG-ben és az azzal rokon elméletekben, de A-ban nem. Itt léteznie kell legalább egy olyan valódi osztálynak, amely eleme egy valódi osztálynak. A következő szakaszban látni is fogunk ilyet.

Russell-paradoxon

Tekintsük a Russell-osztályt, vagyis az önmagukat elemként nem tartalmazó halmazok osztályát:

$R=\{x:x\notin x\}$

Ha R halmaz lenne, akkor előállna a Russell-paradoxon. De a halmazkomprehenzió nem kényszeríti ki, hogy R halmaz legyen, mivel V valódi osztály és $V\notin V$, tehát az „$X\notin X$” tulajdonság nem csak halmazokra igaz. (Az „$M(X)\land X\notin X$” változat már csak halmazokra igaz; de szerepel benne M.)

Burali-Forti paradoxon

Vezessük be a rendszámokat a szokásos Neumann-féle meghatározással, külön halmazokra és külön osztályokra. Halmazrendszámon olyan halmazt értünk, amely tranzitív, és amelyet az $\in$ reláció jólrendez; osztályrendszámon pedig olyan osztályt, amely az iménti tulajdonságokkal bír. Egy $\alpha$ rendszám rákövetkezőjét is a szokásos módon definiáljuk:

$\alpha +1=$_def$\alpha \cup \{\alpha \}$

Az osztálykomprehenziós axiómasémából következik, hogy létezik a halmazrendszámok Ord osztálya. A szokásos módon bizonyítható, hogy ez egy osztályrendszám. Ha halmaz lenne, előállna a Burali-Forti paradoxon; tehát Ord valódi osztály.

Kérdés, hogy az NBG elmélethez hasonlóan A-ban is ez-e az egyetlen valódi osztályrendszám. Tegyük fel, hogy igen. Ekkor csak a halmazrendszámoknak van rákövetkezője. Tekintsük azt az elsőrendű tulajdonságot, hogy „X osztályrendszám és X-nek nincs rákövetkezője”. Ebben nincs paraméter, csak halmazokra igaz, és nem szerepel benne az M predikátum; tehát a halmazkomprehenziós séma értelmében meghatároz egy halmazt; éspedig az összes halmazrendszám Ord halmazát. Így visszajutottunk a Burali-Forti paradoxonhoz; a feltevést tehát el kell vetni.

A fentiek következtében kell, hogy létezzen legalább egy olyan osztályrendszám, amelynek van rákövetkezője. Így a halmazrendszámokhoz hasonlóan az osztályrendszámok is jólrendezett hierarchiába rendeződnek: Ord, Ord + 1, Ord + 2 stb. Mivel $\forall X\ X\in X+1$, a valódi osztályrendszámok konkrét példát adnak olyan valódi osztályokra, amelyek elemei más valódi osztályoknak.

Néhány tétel

• Létezik üres halmaz. (Vö. üreshalmaz-axióma.)

Bizonyítás: A „$\forall X\ (X\neq X\rightarrow M(X))$” formula logikai igazság és M nem szerepel „$X\neq X$”-ben; így a halmazkomprehenziós axióma értelmében az $\emptyset =\{x:x\neq x\}$ osztály halmaz.

• Bármely két halmaz párosztálya halmaz. (Vö. páraxióma.)

Bizonyítás: Az „$M(U)\land M(U')\land \forall X\ ((X=U\lor X=U')\rightarrow M(X))$” formula következik az „$M(U)\land M(U')$” feltevésből; továbbá M nem szerepel „$x=u\lor x=u'$”-ben. Így az $\{u,u'\}=\{x:x=u\lor x=u'\}$ osztály halmaz.

• Bármely halmaz unióosztálya halmaz. (Vö. unió-axióma.)

Bizonyítás: Az „$M(U)\land \forall X\ (\exists Z\ (X\in Z\land Z\in U))\rightarrow M(X))$” formula következik az „$M(U)$” feltevésből és az elemaxiómából; továbbá M nem szerepel „$\exists Z\ (X\in Z\land Z\in u)$”-ban. Így az $\{x:\exists Z\ (X\in Z\land Z\in u)\}$ osztály halmaz.

• Bármely halmaz hatványosztálya halmaz. (Vö. hatványhalmaz-axióma.)

Bizonyítás: Az „$M(U)\land (\forall X\ (X\subseteq U\rightarrow M(X))$” formula következik az „$M(U)$” feltevésből és az részhalmazaxiómából; továbbá M nem szerepel „$\forall Z\ (Z\in X\rightarrow Z\in U)$”-ban. Így az $\{x:\forall Z\ (Z\in X\rightarrow Z\in u)\}$ osztály halmaz.

• Létezik $\omega$, a legszűkebb induktív halmaz. (Vö. végtelenségi axióma.)

Bizonyítás: Tekintsük azt a tulajdonságot, hogy X eleme minden induktív osztálynak:

$\forall Y\ ((\emptyset \in Y\land \forall Z\ (Z\in Y\rightarrow Z\cup \{Z\}\in Y))\rightarrow X\in Y)$

V, az összes halmaz osztálya induktív osztály. Ha X minden induktív osztálynak eleme, akkor V-nek is. Így $\forall X\ (\varphi (X)\rightarrow M(X))$, továbbá $\varphi (X)$-ben nem szerepel M; vagyis a halmazkomprehenziós séma értelmében a legszűkebb induktív osztály, amelyet bevezet, halmaz lesz.

Irodalom

• Ackermann, W. (1956): „Zur Axiomatik der Mengenehre”. Mathematische Annalen 131.
• Fraenkel, A. A. -- Y. Bar-Hillel -- Levy, A. (1973): Foundations of Set Theory. (2. kiadás.) Elsevier, Amsterdam &c.
• Levy, A. (1959): „On Ackermann's set theory”. Journal of Symbolic Logic 24.
• Reinhardt, W. N. (1970): „Ackermann's set theory equals ZF”. Annals of Mathematical Logic 2.