Szerkesztő:K.csango/próbalap

Kétségtelenül figyelmet igényel, fegyelmet követel az egyedi jelenségek általános jegyeinek meghatározása. Ettől sokkal fogósabb kérdés, hogy a már felismert és általában matematikai eszközökkel megfogalmazott törvényszerűségek miként kamatoztathatók a gyakorlatban.

Egyfelől a hétköznapi példák egyedi részletei lényegtelen mozzanatokkal torzíthatják az elméletet. Általában ez a gond az iskolai matematikai feladatok szövegértésénél. Másfelől sokszor a költészet vezeti az elméleti fizikusokat absztrakt modellek tárgyalásánál felesleges bonyodalmakhoz.

A speciális relativitáselmélet tekintetében rengeteg aggályos kijelentés hangzott el, ami többeket arra sarkallt, hogy kísérletet tegyenek az elmélet cáfoltára, ám ez eddig még senkinek sem sikerült maradéktalanul.
Az ikerparadoxonról sokan gondolják, hogy inkább csak túlzásokba hajló szórakoztatás, amire feltételezhetően Einstein sem tekintett másként. Ugyanakkor a fizika tankönyvek tényként kezelik, hogy egy nagyon gyorsan mozgó mérőrúd hossza valóban megrövidül. A lelkiismeretesebb szerzők megjegyzik ugyan, hogy „ez vizuálisan nem figyelhető meg”. Bár, ha az ikerpár egyik tagja felrobban, mielőtt a fiatalságának látványos megőrzéséhez szükséges sebességet elérné, akkor a mérőrúd miért ne tenné ezt

A matematikai számítások laza bevezetéseképpen gyakran elhangzik, hogy a "v" sebességgel haladó vonaton az "u" sebességgel mozgó utas sebessége hozzáadódik a vonat sebességéhez”. A becsületesebb szerzők itt is pontosítanak: „ezt a vonathoz viszonyítva nyugalmi helyzetben lévő megfigyelő látja így”. Ez viszont nem igaz, de legalább értjük, mire nem kellene, hogy vonatkozzanak a soron következő számítások. A Galilei-transzformáció és a Lorentz-transzformáció az egymást nem tartalmazó vonatkoztatási rendszerek kapcsolatát tárgyalja.

Ma már szinte közhelynek számít a káoszelmélettel elhíresült pillangóhatás: „akár egy lepke szárnycsapása képes az időjárást megváltoztatni”. Az, hogy milyen modellt épít fel, vagy fogad el valaki, visszahat a saját munkájára. Lappangó hibák, logikai csúsztatások, zsákutcába torkolló ügyeskedések teherként nehezednek a társadalom életére a legváratlanabb helyen és pillanatban balesetet idézve elő.

A vonatkoztatási rendszer definíciója, tulajdonságai

Adott egy mozgásban lévő objektum, aminek a sebességéről senkinek sincs információja. Ennek saját magához arányított értéke 1:1. Saját magához viszonyítva nyugalmi helyzetben van, a saját magával vett relatív sebessége nulla.

Ez egyben annak a megfigyelőnek a sebessége is, aki adott vonatkoztatási rendszeren belül bármely más mozgásban lévő objektumhoz képest nyugalmi helyzetben van. Következésképpen a megfigyelő és az őt tartalmazó vonatkoztatási rendszer között fennálló formális különbség ellenére a kettő lényegében ugyanaz: A vonatkoztatási rendszer az általa tartalmazott, és megfigyelőként azonosított pontra koncentrálódik.

Geometriai definíciója szerint a pontnak nincs kiterjedése, elképzelni még is csak valamiként lehet, ami itt magával a vonatkoztatási rendszerrel azonos. Lyuk abban a rendszerben, amihez tartozik. Halmazelméleti antinómia a dilemma: Az összes halmazok halmaza tartalmazza-e saját magát vagy sem?

A vonatkoztatási rendszerben mozgó objektum sebességét az 1:1 egységhez arányítva adhatjuk meg. Történhet az idők, vagy a megtett utak hosszainak aránya szerint. Az előbbi esetben az útszakasz hosszát, az utóbbi esetben a szintén szakasz hosszaként ábrázolt időtartamot választjuk egységnek. A kapott értékek egymás reciprokja.
A továbbiakban, miként hagyományosan, az egységnyi idő alatt megtett útszakaszok hosszainak arányával adjuk meg a sebességek nagyságát.

Legyen adott a vonatkoztatási rendszerben egy vonat v:1 < 1:1 sebességgel
Legyen ugyanitt egy kerékpáros sebessége u:1 < v:1.

A kerékpáros sebessége bármely vonatkoztatási rendszeren belül u:1, mivel bármely vonatkoztatási rendszer saját magához arányított sebességének értéke 1:1. A vonatkoztatási rendszeren belül ez a maximális érték.

Akár rajta van a megfigyelő a vonaton, akár nincs, ha azzal azonos irányba, azonos sebességgel halad, akkor a vonat lesz a vonatkoztatási rendszer, melynek saját magához arányított sebessége 1:1. A vonatot tartalmazó vonatkoztatási rendszerről viszont nincs tudomása, ezért az nem létezik számára.

Az egymást tartalmazó vonatkoztatási rendszerek

Ha a megfigyelő nem mozdul el a vonattal együtt, akkor a vonat hozzá viszonyított v:1 sebességét mérheti. Ahogy azt is, hogy a vonaton tekerő kerékpáros sebessége valamiképpen a vonat sebességének függvényében kell, hogy megállapítható legyen. A kerékpáros viszont nem érzékeli, a vonatkoztatási rendszer sebességet. Csak az eltérő sebességű rendszerek közötti váltást.

Miután a kerékpáros és a vonat függetlenné vált egymástól, kettejük relatív sebességének nagysága az egyenként vett sebességek (v±u):1 összege, vagy különbsége attól függően, hogy a párhuzamos útvonalon azonos vagy ellentétes irányba haladnak-e? Az u:1 és a v:1 sebességek értékei tekinthetők az α és a β szögek tangens szögfüggvényeinek. Adott helyen bekövetkező váltáskor viszont a tangens szögfüggvények összege helyett a szögek összegének tangense határozza meg a sebesség értékét.
A tg (α±β) = (tg α±tg β)/(1±(-(tg α)(tg β))) összefüggés szerint a (v±u)/(1±(-vu)):1 formulával adható meg a két vonatkoztatási rendszer közötti váltás aránya, amit ― a kerékpáros tömegét figyelembe véve ― ezzel arányos nagyságú impulzus tesz egyértelművé.

Míg azonban a kerékpáros a vonaton teker, sebességét a vonathoz viszonyítva nyugalmi helyzetben lévő megfigyelő a vonat sebességéhez arányítja, ami (u/v):1. A vonat saját magához arányított sebesség v:v = 1:1.
Fordítva, a kerékpáros sebességéhez arányítva a vonat sebessége (v/u):1, a kerékpárosé u:u = 1:1.

Gyorsan váltakozó szemmozgással a megfigyelő szinte egyszerre rögzíti a két eseményt. A nézőpontváltás értékét nem befolyásolja a váltás iránya: [(v/v)±(u/v)]/[1‑(v/v)(u/v)] = [(v/u)±(u/u)]/[1-(v/u)(u/u)] = (v±u):(v±(-u). Az esemény az egységnyi távolság gyorsulásaként értékelhető. Mértékét célszerű a

((v±u)/(v±(‑u))$^{1/2}$:((v±(-u))/(v±u))$^{1/2}$

formában rögzíteni. Adott arányban gyorsuló egységnyi távolság két végpontjában az (u/v):1 és (v/u):1 sebességek között történik a váltás. A gyorsuló szakasz a célpontban mint (v±u)/(v±(-u)):1 sebesség érkezik be.

Az egyidejű eseményként érzékelt (u/v):1 és (v/u):1 sebességek (u/v):(v/u) < 1 és (v/u):(u/v) > 1 arányban váltanak egymás vonatkoztatási rendszerére annak értékét módosítva. Ily módon tehet különbséget a megfigyelő a vonathoz tartozó és az azt tartalmazó vonatkoztatási rendszerek között.

A vonathoz tartozó vonatkoztatási rendszer 1:1 egysége a kerékpáros sebességének (u/v):(v/u) arányú váltása miatt az (u/v)$^{2}$ értékkel, (1-(u/v)$^{2}$):1 arányban rövidül. Az egység rövidülése vizuálisan nem figyelhető meg. Bizonyos esetekben, adott közeg fizikai tulajdonságaitól függően, a vonatkoztatási rendszer helyi jellegű feszültségeként nyilvánulhat meg.
Viszont, ha a kerékpároshoz tartozó u:u egységhez viszonyítva a vonat sebessége (v/u):(u/v) arányban vált, nem egyértelmű, hogy a kerékpáros sebessége által meghatározott egység a (v/u)$^{2}$ értékkel bővül, vagy a (v/u)$^{2}$ értékre egészül-e ki? Bár a megfigyelő által nem mérhető módon, vajon 1:1 helyett az (1+(v/u)$^{2}$):1 vagy a ((v/u)$^{2}$-1):1 arányban változik az értéke?
A két vonatkoztatási rendszer interakciójának másik figyelemre méltó sajátossága, hogy a sebességek megadásánál formailag az (u/v):1 vagy a (v/u):1 értékek kerülnek előtérbe. A feszültségek esetében viszont az (1+(u/v)$^{2}$):1 vagy a ((v/u)$^{2}$-1):1 kifejezésekbe ágyazva a négyzeteik.

Az (1-(u/v)$^{2}$)-(u/v)$^{2}$ = (1-(u/v)^$^{2}$)$^{2}$-(u/v)$^{4}$ = (1-2(u/v)$^{2}$):1 valamint az
(1+(v/u)$^{2}$)+(v/u)$^{2}$ = ((v/u)$^{2}$-1)$^{2}$-(v/u)$^{4}$ = (2-(v/u)$^{2}$) azonosságoknak megfelelően a tagok gyökei derékszögű háromszögek oldalaiként vehetők figyelembe.

A "relatív sebesség" fogalmának bevezetése abban az esetben válik szükségessé, ha vonatkoztatási rendszerben több, különböző sebességű, energiájú és tömegű objektumok mozdulnak el egymáshoz viszonyítva.

A relatív sebesség fogalma és az ezzel kiépülő térbeli struktúra

Két, egyenletes sebességgel haladó objektum relatív sebességén hagyományosan a sebességek összegét vagy különbségét értjük az elmozdulásuk irányától függően. A fogalom kiemelten arra utal, hogy a sebesség értékét két eredőre vezetjük vissza.
Ebben az esetben a kerékpáros nem tartózkodik a vonaton. Kettejük haladási iránya γ szöget zár be egymással, ezért a relatív sebesség nagysága a koszinusztétel segítségével határozható meg, értéke attól függ, hogy ellentétes, vagy mindketten azonos irányba haladnak-e?

[u$^{2}$±v$^{2}$±(-uv(cos γ))]$^{1/2}$

Ha a megfigyelőhöz viszonyítva a két objektum relatív sebessége z:1, akkor a sebességvektorral adott irányba, a két objektum közötti távolságon az egységnyi szakasz iránytól függően

((1±z)/(1±(-z))$^{1/2}$:((1±(-z))/(1±z)$^{1/2}$ arányban gyorsul. Adott arányú gyorsulással hidalható át az objektumok távolsága.

Ha egy z:1 sebességgel haladó forrástól érkeznék a megfigyelő felé szignál, akkor kettejük között a távolság iránytól függő
((1±z)/(1±(-z))$^{1/2}$:((1±(-z))/(1±z)$^{1/2}$ arányban történő gyorsulását az objektumtól kiküldött szignál frekvenciaváltásával érzékelhetné. Ezen alapul a Doppler-effektus jelensége is. A megfigyelő nem tartozik a hozzá viszonyítva elmozduló forrás vonatkoztatási rendszeréhez, ahogy az attól kibocsátott szignál sem!

Ha azonban a megfigyelő a z:1 sebességgel haladó objektum vonatkoztatási rendszeréhez tartozik, akkor a vonatkoztatási rendszer (1-z$^{2}$):1 arányban változó értéke a sebesség függvényében keletkező feszültségként hat rá, bár ezt ott maga nem érzékeli. A vonatkoztatási rendszeren kívül kerül abba a helyzetbe, hogy a sajátjához és a megfigyelt objektumhoz tartozó vonatkoztatási rendszer 1:1 és (1-z$^{2}$):1 arányát megkülönböztesse egymástól.

Következmények

A fényforrástól kibocsátott fény nem tartozik a fényforrás sebességével adott vonatkoztatási rendszerhez. A fény sebességét a hozzá tartozó vonatkoztatási rendszerben mérjük, ahol viszont nincs lehetőség más vonatkoztatási rendszerre váltani. Adott helyen a fény sebessége maximális, állandó, nem utolsó sorban az E= mc$^{2}$ képletnek teljes mértékben megfelelően.

Források

A cikk alapjául szolgáló munka:
Gravitáció és Optika a káoszelmélet modellezésére alkalmas másodfokú iterációs függvény működése által kialakított struktúra - az ennek alapján vázolható geometriai szerkezet lehetséges fizikai jelentései - a görbülő tér egységei https://gravitation-optics.blogspot.com/

Rudolf Arnheim: A vizuális élmény; Az alkotó gondolkodás pszichológiája
Gondolat Budapest, 1979.
Art and Visual perception; Psychology of the creative eye University of California Press, Berkeley & Los Angeles, 1974

Rudolf Arnheim: Anschauliches Denken
Du Mont Buchverlag Köln 1972.
Visual Thinking 1969 by The Regents of the University of California

Wilhelm H. Westphal: Physik Lehrbuch'' 25./26. neubearbeitete Auflage
Springer Verlag Berlin - Heidelberg - New York 1970

Stefan Hildebrand und Anthony Tromba: Panoptimum; Mathematische Grundmuster des Vollkommenen
Spectrum der Wissenschat Heidelberg 1987
Originaltitel: Mathematics and optimal form Scientific American Books New York 1985.

John Archibald Wheeler: Gravitation und Raumzeit'
' Spectrum der Wissenschat Heidelberg 1991
Originaltitel: Gravity and Spacetime Scientific American Books New York 1990.