Számtartományok

A számtartomány számokból álló halmaz, röviden számhalmaz. A történelem folyamán ahogy nőtt az igény az egyre bonyolultabb dolgok (számbeli) kifejezésére, úgy nőtt az igény a számhalmaz(ok) bővítésére is. Így jutottunk el a természetes számoktól a komplex számokig, és közben mindegyik új számhalmaznak a régi a részhalmaza volt.

1. Természetes számok halmaza Ez a legalapvetőbb számhalmaz, amelybe beletartoznak a 0, 1, 2, 3,… vagyis ha egy halmaz tartalmazza a 0, 1 számokat és minden k számhoz a rákövetkező számot, akkor tartalmazza az összes természetes számot. A számjegyeket az ún. arab számjegyekkel ábrázoljuk (például 1, 2, 16, 36156 stb.). Jelölése N. Nem minden országban tartozik azonban bele a természetes számok halmazába a nulla. A matematikusok nem értenek egyet abban, hogy a nulla természetes szám-e. A félreértések elkerülése végett mindig tisztázni kell, hogy melyik halmazról van szó: N₀ beleértve, N⁺ nem értve bele. A matematika tanításában országonként változhat a megállapodás; például Magyarországon úgy tanítják, hogy a nulla természetes szám, míg Szlovákiában nem.

2. Egész számok halmaza A természetes számok negatív egész számokkal (és valahol nullával) kibővített halmaza. A negatív számokat a gyakorlatban is széles körben használjuk, elég csak az időjárásra (például „–5 °C van kint”), vagy a banki átutalásokra (például –5000 Ft azt jelenti, hogy 5000 forintot vettek le a számláról stb.) gondolni. Jele Z.

3. Racionális számok Amikor már nem volt elég az egész számok halmaza se a matematikai műveletekhez (például ${\frac {5}{2}}=2{,}5$, vagy ${\frac {1}{3}}\approx 0{,}{\bar {3}}$), akkor az egész számok halmaza újabb számokkal bővült, mégpedig azokkal, amelyeket felírhatunk tört formájában (vagyis ${\frac {a}{b}}$, ahol $b\neq 0$). Jelölése Q.

4. Valós számok Idővel a racionális számhalmaz is kevésnek bizonyult egyes természeti jelenségek leírására (például a kör kerületének és a sugarának az aránya), így bevezették az irracionális vagy valós számrendszert, amely a már meglévő (racionális) számokat további számokkal (például gyökjel alatti kifejezések értéke, vagy az ún. transzcendens számokkal stb.) egészítette ki. Jelölése R.

5. Komplex számok A valós számok sokáig a tudósok minden igényét kielégítették (az egyszerű emberről nem is beszélve), de az idő múltával egyre inkább szem elé került az egyetlen hibája, hogy nem tartoznak bele a negatív számok gyökei, hiszen például $(-2)^{2}=4,{\sqrt {4}}=\pm 2$, de ${\sqrt {-4}}=?$. A megoldást a komplex számok halmaza adta (jelölése C), melynek alapja az ún. $i$ imaginárius egység, melyre érvényes, hogy $i^{2}=-1$, vagy a négyzetgyökvonás jelének értelmezését kibővítve: $i={\sqrt {-1}}$. Így most már megoldható az $x^{2}=-4$ egyenlet, amelynek két gyöke a komplex számok halmazán $2i$ és $-2i$.

Az elemi matematikában az összes számhalmaz a következő részhalmaza, vagyis $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} .$ Amennyiben a számtartományok formális és nem-axiomatikus eszközökkel való felépítését fogadjuk el, ezen szigorú és rendszeres algebrai vagy analitikus konstrukciók során a fenti relációlánc egyik-másik vagy akár az összes eleme érvénytelenné válhat. A „felsőbb” matematikában ezen tartományok nem feltétlenül részhalmazai egymásnak, hanem egy gyengébb kapcsolat van köztük, nevezetesen, beágyazhatóak egymásba.