Rolle-tétel

Nem tévesztendő össze a következővel: Rolle-féle gyöktétel.

A matematikai analízisben a Rolle-tétel vagy Rolle-féle középértéktétel az egyik fontos és gyakran alkalmazott tétel, ami egy intervallumon értelmezett differenciálható függvény „vízszintes” érintőjének (azaz a derivált zérushelyének) létezésére ad elégséges feltételt.

A tétel

Ha az $f$ függvény folytonos az $[a,b]$ intervallumban, differenciálható az intervallum belső pontjaiban és

f(a)=f(b)

,

akkor van olyan $a<c<b$ szám, hogy

f'(c)=0

teljesül.

Bizonyítása

Ha az $f$ függvény az $(a,b)$ intervallumon végig az $f(a)=f(b)$ értéket veszi fel, akkor konstans, tehát deriváltja mindenütt 0.

Tegyük fel, hogy egy pontban $f$ értéke ettől eltér. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy ez az érték nagyobb $f(a)=f(b)$ -nél (ellenkező esetben ugyanezt a gondolatmenetet a $-f$ függvényre kell alkalmaznunk). A Weierstrass-tétel szerint a függvény az $[a,b]$ intervallumban valahol felveszi maximumát. Legyen $c$ egy ilyen pont. $c$ nem lehet $a$ -val vagy $b$ -vel egyenlő, mert akkor lenne nála nagyobb értékű hely, ami ellentmond $f(c)$ maximális tulajdonságának. Mivel $f$ a $c$ -ben (mely az értelmezési tartomány belső pontjában van) differenciálható és ott maximuma van, ezért a szélsőértékekre vonatkozó Fermat-tétel miatt ott a deriváltja 0.

Általánosításai

A Rolle-tétel érvényes tetszőleges intervallumon értelmezett differenciálható függvény esetén is, amennyiben a két végpont függvényértékének egyenlőségét a határértékek egyenlősége váltja fel.

Tétel – Az f : $I$ $\rightarrow$ R intervallumon értelmezett, belül differenciálható függvény esetén létezik olyan ξ ∈ $I$ pont, hogy f '( ξ ) = 0, feltéve, hogy létezik az lim_α f és lim_β f határérték és lim_α f = lim_β f , ahol α és β a $I$ két végpontja.

Bizonyítás. Indirekt módon tegyük fel, hogy minden x ∈ int( $I$ ) belső pont esetén f '(x) > 0 vagy f '(x) < 0. Ekkor speciálisan az is igaz, hogy minden x ∈ int( $I$ )-re f '(x) > 0 vagy minden x ∈ int( $I$ )-re f '(x) < 0, ugyanis ha lenne a < b int( $I$ )-beli elem, hogy f '(a) és f '(b) ellenkező előjelű (nem nulla), akkor a Darboux-tételt alkalmazva lenne olyan c pont az [a,b] zárt halmazon, hogy f '(c) = 0, ami ellentmond az indirekt feltételnek. Ha ezzel szemben f az int( $I$ ) halmazon állandó előjelű, akkor szigorúan monoton, ami meg annak mond ellent, hogy lim_α f = lim_β f, tehát mindenképpen ellentmondásra jutunk.

Ilyen például az

x\mapsto e^{-x^{2}}

függvény.

Egy másik általánosítás a differenciálhatósági feltételen lazít.

Tétel – Ha az f : [a,b] $\rightarrow$ R korlátos, zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény olyan, hogy f(a) = f(b) és az I minden belső pontjában vagy differenciálható f, vagy a különbségi hányadosnak létezik +∞ vagy -∞ értékű határértéke, akkor létezik olyan ξ ∈ int( $I$ ) pont, hogy f '(ξ) = 0.