Peres–Horodecki-kritérium

A Peres–Horodecki-kritérium egy szükséges feltétel arra, hogy az A és B kvantummechanikai rendszerek közös $\rho$ sűrűségmátrixa szeparálható állapotú legyen. Nevezik még PPT kritériumnak is, ahol a PPT a pozitív-szemidefinit parciális transzponáltra utal. A 2×2 és a 2×3 dimenzióban a feltétel nem csak szükséges, hanem elégséges is. Magasabb dimenziókban a teszt inkonklúzív, és bonyolultabb tesztekkel kell kiegészíteni. Arra használják, hogy bizonyítsák, hogy egy kevert állapot összefonódott, más szavakkal nem szeparálható. Tiszta állapotok esetén erre a Schmidt-dekompozíció is alkalmazható.

Definíció

Ha a ${\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}$ Hilbert téren van egy $\rho$ általános állapotunk, amelyre

$\rho =\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |k\rangle \langle l|$,

akkor annak (B-szerinti) részleges transzponáltja a következő

$\rho ^{T_{B}}:=(I\otimes T)(\rho )=\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes (|k\rangle \langle l|)^{T}=\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |l\rangle \langle k|=\sum _{ijkl}p_{lk}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |k\rangle \langle l|$.

Meg kell jegyezni, hogy a névben szereplő részleges arra utal, hogy az állapotot csak az egyik részrendszer szerint transzponálták.

Ez a definíció jobban megérthető, ha az állapotot blokk-mátrixként írjuk:

$\rho ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\dots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&&\\\vdots &&\ddots &\\A_{n1}&&&A_{nn}\end{pmatrix}},$

ahol $n=\dim {\mathcal {H}}_{A}$, és minden blokk egy $m=\dim {\mathcal {H}}_{B}$-dimenziójú négyzetes mátrix. A parciális transzponált ezek után a következő lesz:

$\rho ^{T_{B}}={\begin{pmatrix}A_{11}^{T}&A_{12}^{T}&\dots &A_{1n}^{T}\\A_{21}^{T}&A_{22}^{T}&&\\\vdots &&\ddots &\\A_{n1}^{T}&&&A_{nn}^{T}\end{pmatrix}}.$

A kritérium megállapítja, hogy ha $\rho \;\!$ szeparálható, akkor $\rho ^{T_{B}}$ minden sajátértéke nem-negatív. Ezek alapján, ha $\rho ^{T_{B}}$-nek van negatív sajátértéke, akkor a $\rho$ állapot összefonódott. Az összefüggés fordított irányban is igaz, ha a rendszer $2\times 2$ vagy $2\times 3$ méretű.

Nem számít, hogy melyik részrendszer szerint végezzük a parciális transzponálást, mivel $\rho ^{T_{A}}=(\rho ^{T_{B}})^{T}$.

Példa

Tekintsük a 2-qubites Werner-állapotokat:

$\rho =p|\Psi ^{-}\rangle \langle \Psi ^{-}|+(1-p){\frac {I}{4}}.$

Egy ilyen kvantumállapot a $|\Psi ^{-}\rangle$ és a maximálisan kevert állapot keveréke. A sűrűségmátrixa a következő:

$\rho ={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1-p&0&0&0\\0&p+1&-2p&0\\0&-2p&p+1&0\\0&0&0&1-p.\end{pmatrix}}$

A sűrűségmátrix parciális transzponáltja:

$\rho ^{T_{B}}={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1-p&0&0&-2p\\0&p+1&0&0\\0&0&p+1&0\\-2p&0&0&1-p.\end{pmatrix}}$

A parciális transzponált legkisebb sajátértéke $(1-3p)/4$. Így az állapot összefonódott, ha $1\geq p>1/3$.

Bizonyítás

Ha ρ szeparálható állapot, akkor felírható

$\rho =\sum p_{i}\rho _{i}^{A}\otimes \rho _{i}^{B}$

alakban. Ebben az esetben a parciális transzponálás hatása triviális:

$\rho ^{T_{B}}=I\otimes T(\rho )=\sum p_{i}\rho _{i}^{A}\otimes (\rho _{i}^{B})^{T}.$

Mivel a transzponálás mint leképezés nem változtatja a sajátértékeket, a $(\rho _{i}^{B})^{T}$ spektruma ugyanaz, mint a $\rho _{i}^{B}\;\!$ spektruma, és a $(\rho _{i}^{B})^{T}$ pozitív-szemidefinit. Így $\rho ^{T_{B}}$ is pozitív-szemidefinit kell legyen. Vagyis minden szeparálható állapot parciális transzponáltja pozitív-szemidefinit. Ezzel bebizonyítottuk, hogy a PPT-kritérium szükséges feltétele a szeparabilitásnak.

Folytonos változójú kvantumrendszerek

A Peres–Horodecki-kritérimot kiterjesztették folytonos változójú kvantumrendszerekre. Simon a PPT kritérium olyan változatát mutatta be, amely a kanonikus változók második momentumaival van kifejezve. Azt is megmutatta, hogy ez szükséges és elégséges feltétel összefonódottságra két, Gauss-i állapotban levő módus esetén. Ref. egy ekvivalens módszert mutat be. Később azt találták , hogy a kritérium szükséges és elégséges, hogy összefonódottságot detektáljon egy kétrészű rendszerben, amelyben az egyik részrendszer egy módus, a másik egynél több módus, ha a rendszer Gauss-i állapotban van. Ezzel szemben, már nem szükséges és elégséges feltétel egy olyan kétrészű rendszerben, ahol mindkét részrendszer két módusból áll. A módszer általánosítható úgy, hogy a kanonikus változók magasabb mometumait is figyelembe vesszük vagy ha entropikus mértékeket használunk.

Szimmetrikus rendszerek

Szimmetrikus kétrészű rendszerek esetén a parciális transzponált pozitivitása bizonyos kéttest-korrelációk előjelével van kapcsolatban. Itt szimmetrián azt értjük, hogy a sűrűségmátrix kielégíti a

$\rho F_{AB}=F_{AB}\rho =\rho ,$

egyenletet, ahol $F_{AB}$ a „flip” vagy „swap” operátor, amely megcseréli az $A$ és $B$ állapotát.

Megmutatható, hogy ilyen állapotokra $\rho$ parciális transzponáltja akkor és csak akkor pozitív, ha

$\langle M\otimes M\rangle _{\rho }\geq 0$

minden $M$ operátorra igaz. Így, ha $\langle M\otimes M\rangle _{\rho }<0$ igaz valamilyen $M$-re, akkor az állapot összefonódott és nem PPT.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Peres–Horodecki_criterion című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

• Asher Peres, Separability Criterion for Density Matrices, Phys. Rev. Lett. 77, 1413–1415 (1996)
• (1996) „Separability of mixed states: necessary and sufficient conditions”. Physics Letters A 223 (1–2), 1–8. o. DOI:10.1016/s0375-9601(96)00706-2.