Meander (matematika)

A matematikában a meander vagy zárt meander egy olyan hurokmentes (magát nem metsző) görbe, mely többször metsz egy egyenest. Nevét a folyókanyarulatot jelentő meanderről kapta. Úgy képzelhetünk el egy meandert, mint az útvonalunkat, amint egy folyó fölötti összes hídon átmegyünk egyszer, és visszaérünk oda, ahonnan indultunk.

Meander

Adott egy irányított E egyenes az euklideszi síkon (R²). Egy n-edrendű meander egy önmagát nem metsző (hurokmentes) zárt görbe, amely 2n helyen metszi E-t. Két meander akkor ekvivalens, ha topológiailag izomorf (homeomorf).

Példák

Az elsőrendű (n=1) meander az E egyenest két pontban metszi.

A másodrendű (n=2) meander az E egyenest négy pontban metszi.

Meandrikus számok

A különböző n-edrendű meanderek számát az n-edik meandrikus számnak hívjuk. Az első tizenöt meandrikus szám lejjebb látható (A005315 sorozat az OEIS-ben)

M₁ = 1

M₂ = 2

M₃ = 8

M₄ = 42

M₅ = 262

M₆ = 1828

M₇ = 13 820

M₈ = 110 954

M₉ = 933 458

M₁₀ = 8 152 860

M₁₁ = 73 424 650

M₁₂ = 678 390 116

M₁₃ = 6 405 031 050

M₁₄ = 61 606 881 612

M₁₅ = 602 188 541 928

Meanderpermutáció

Meanderpermutáció
(1 8 5 4 3 6 7 2)

Egy meandervonal metszéseit a vonalon megszámozva, majd a görbe érintési sorrendjébe rakva többféle számsort is kaphatunk, ugyanis a görbét többféleképpen lehet megrajzolni. Ez egy permutáció. A közmegegyezés szerint az 1-es számmal a bal szélen indul a számozás, és itt a görbe felfelé halad. Megfigyelhető, hogy felváltva páros és páratlan számokat érint.

Nyílt meander

Adott egy irányított E egyenes az euklideszi síkon (R²). Egy n-edrendű nyílt meander egy olyan önmagát nem metsző irányított görbe R²-ben, mely n-szer metszi E-t.

Példák

Az elsőrendű meander egy pontban metszi az egyenest.

A másodrendű meander két pontban metszi az egyenest.

Nyílt meandrikus számok

A különböző n-edrendű nyílt meanderek számát nevezzük az n-edik meandrikus számnak. Jele:m_n Különböző alatt az egymással nem homeomorf meandereket értjük. Íme az első 15 nyílt meandrikus szám: (A005316 sorozat az OEIS-ben)

m₁ = 1

m₂ = 1

m₃ = 2

m₄ = 3

m₅ = 8

m₆ = 14

m₇ = 42

m₈ = 81

m₉ = 262

m₁₀ = 538

m₁₁ = 1828

m₁₂ = 3926

m₁₃ = 13820

m₁₄ = 30694

m₁₅ = 110954

Félmeanderek

Adott egy F félegyenes az euklideszi síkon (R²). Egy n-edrendű félmeander egy olyan önmagát nem metsző zárt görbe, mely n-szer metszi F-et. Két félmeander ekvivalens, ha homeomorfak a síkban.

Példák

Az elsőrendű félmeander egyszer metszi F-et.

A másodrendű félmeander kétszer metszi F-et.

Félmeandrikus számok

A különböző n-edrendű félmeanderek számát nevezzük az n-edik félmeandrikus számnak. Jele: M_n (Gyakran felülvonással jelölik alulvonás helyett) Az első 15 félmeandrikus szám a következő (A000682 sorozat az OEIS-ben).

M₁ = 1

M₂ = 1

M₃ = 2

M₄ = 4

M₅ = 10

M₆ = 24

M₇ = 66

M₈ = 174

M₉ = 504

M₁₀ = 1406

M₁₁ = 4210

M₁₂ = 12198

M₁₃ = 37378

M₁₄ = 111278

M₁₅ = 346846

Összefüggések a meandrikus számok között

Meandrikusról nyílt meandrikus számokra fenn áll a következő injektív leképezés:

M_n = m_2n‒1

Minden meandrikus szám rendre két félmeandrikus közé esik:

M_n ≤ M_n ≤ M_2n

A másodiktól kezdve (n>1) minden meandrikus szám páros:

M_n ≡ 0 (mod 2)

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Meander (mathematics) című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.