Markov-egyenlőtlenség (valószínűségszámítás)
A Markov-egyenlőtlenség a valószínűségszámításban becslést ad arra, hogy a valószínűségi változó kimenetele mekkora valószínűséggel halad meg egy megadott számot. Andrej Andrejevics Markov után nevezték el.
Állítás
[szerkesztés]Legyen valószínűségi mező, valós értékű valószínűségi változó, adott valós szám és monoton növő függvény. Továbbá értelmezési tartománya tartalmazza képhalmazát. Ekkor az általános Markov-egyenlőtlenség szerint
![{\displaystyle h(a)P\left[X\geq a\right]\leq \operatorname {E} \left[h(X)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfedd85cb6d5cce1ba27bc786468b6475c56b84f)
ami esetén írható úgy is, mint
![{\displaystyle P\left[X\geq a\right]\leq {\frac {\operatorname {E} \left[h(X)\right]}{h(a)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c9767b0a539a195a3fce5f4ea94edd5ea6b02c8)
Változatok
[szerkesztés]Legyen , ha , és legyen valós valószínűségi változók, ekkor esetén adódik a speciális eset:
![{\displaystyle P\left[|X|\geq a\right]\leq {\frac {\operatorname {E} \left[|X|\right]}{a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f6f9999b2900e14265a1f1586c73e583dd327b8)
Ezt a speciális esetet területek összehasonlításával lehet bizonyítani, és hasonló módon a Csebisev-egyenlőtlenség is bizonyítható.[1]
Legyen , ahol , akkor következik a -szeres túllépést becslő változat:
![{\displaystyle a=c\cdot \operatorname {E} [|X|]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449fcf644107c8cc4dcc3c5a7c8bd25578e6af1c)
![{\displaystyle P\left[|X|\geq c\cdot \operatorname {E} [|X|]\right]\leq {\frac {\operatorname {E} \left[|X|\right]}{c\cdot \operatorname {E} \left[|X|\right]}}={\frac {1}{c}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2646bb374e0ee9755c5791c3638352137b1b77b8)
Legyen és alkalmazzuk a Markov-egyenlőtlenséget az valószínűségi változóra. Ekkor esetén a Csebisev-egyenlőtlenséghez jutunk:
![{\displaystyle Y=|X-\operatorname {E} [X]|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f87f1ba479302c06218961597c2a4d244c94b79)
![{\displaystyle P\left[|X-\operatorname {E} [X]|\geq a\right]\leq {\frac {\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])^{2}]}{a^{2}}}={\frac {\operatorname {Var} [X]}{a^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a574c4179520ff89d71e1eb7b7fbf1d7dfac4f3)
Korlátos valószínűségi változó esetén Markov-szerű becslés adható arra, hogy a valószínűségi változó értéke a várható érték -szerese alatt marad. Legyenek és legyen valószínűségi változó úgy, hogy és . Ekkor minden esetén:
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[|X|\right]\geq {\frac {a}{b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/318e03e1146844768a09c6bb35533086750ad3e8)
![{\displaystyle P\left[|X|\leq (1-c)\operatorname {E} \left[|X|\right]\right]\leq 1-{\frac {c}{b}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e7de8f00406ddf5ff61dfb39b0981b34802767a)
Ez a változat önállóan is bizonyítható, az eredeti Markov-egyenlőtlenséghez hasonlóan.[2]
Ha , akkor alkalmas paraméterrel nagyon jó becslést lehet nyerni, lásd Csernov-egyenlőtlenség. Sőt, megfelelő feltételek esetén ez a becslés optimális.
Bizonyítás
[szerkesztés]Legyen az halmaz indikátorfüggvénye. Ekkor
![{\displaystyle h(a)P\left[X\geq a\right]=\int I_{\{X\geq a\}}h(a)\ dP\leq \int I_{\{X\geq a\}}h(X)\ dP\leq \operatorname {E} \left[h(X)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ba4da3f3bbcf38788ea20d92dce97cdf705b157)
Jegyzetek
[szerkesztés]- ↑ H. Wirths: Der Erwartungswert – Skizzen zur Begriffsentwicklung von Klasse 8 bis 13. In: Mathematik in der Schule 1995/Heft 6, S. 330–343.
- ↑ Piotr Indyk, Sublinear Time Algorithms for Metric Space Problems. Proceedings of the 31st Symposium on Theory of Computing (STOC'99), 428–434, 1999.
Fordítás
[szerkesztés]Ez a szócikk részben vagy egészben a Markow-Ungleichung (Stochastik) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.