Kvantum-összefonódás

A kvantum-összefonódás az a jelenség a kvantummechanikában, amikor két objektum kvantumállapota között összefüggés van olyan értelemben, hogy a teljes rendszer kvantumállapotát nem lehet a részrendszerek kvantumállapotának megadásával leírni. Összefonódás fennállhat egymástól térben távol eső objektumok között is.

Tiszta állapotok

Tiszta állapotok esetén az összefonódás azt jelenti, hogy a rendszer nem szorzatállapotban van, vagyis állapotvektora nem írható le a részrendszerek állapotvektorainak a szorzataként.

Tekintsünk példaként egy két, A és B kétállapotú rendszerekből álló összetett rendszert. A rendszerek két-két lehetséges tiszta állapotát jelölje $|0\rangle _{A}$, $|1\rangle _{A}$, $|0\rangle _{B}$ és $|1\rangle _{B}$.

Szeparálható- vagy szorzatállapot például a

$|\Psi _{1}\rangle =|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}$

állapot. Ez azt az állapotot jelöli, amikor az A rendszer $|0\rangle _{A}$, a B rendszer $|1\rangle _{B}$ állapotban van. Ebben az állapotban az összefonódás mértéke 0.

A következő állapot azonban összefonódott:

$|\Psi _{2}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}).$

Ez az állapot nem áll elő két, A és B beli,

$|\Psi _{a}\rangle =a_{0}|0\rangle _{A}+a_{1}|1\rangle _{A}$

$|\Psi _{b}\rangle =b_{0}|0\rangle _{B}+b_{1}|1\rangle _{B}$

alakú állapotok szorzataként. Valóban, ezek szorzata

$|\Psi _{a}\rangle \otimes |\Psi _{b}\rangle =(a_{0}|0\rangle _{A}+a_{1}|1\rangle _{A})\otimes (b_{0}|0\rangle _{B}+b_{1}|1\rangle _{B})=$

$=a_{0}b_{0}|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+a_{0}b_{1}|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}+a_{1}b_{0}|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+a_{1}b_{1}|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}.$

Mivel ez a 4 szorzatállapot, $|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}$, $|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}$, $|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}$ és $|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}$ bázist alkot a két rendszert leíró 4 dimenziós Hilbert-térben, az együtthatókra fennáll az

$a_{0}b_{0}=0$

$a_{0}b_{1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}$

$a_{1}b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}$

$a_{1}b_{1}=0$

egyenletrendszer, amelynek nincsen megoldása.

Kevert állapotok

Kevert állapotok esetén a rendszer összefonódott, ha nem szeparálható, azaz ha sűrűségmátrixa nem írható le szorzatállapotok keverékeként

$\rho =\sum _{k}p_{k}\rho _{k}^{(1)}\otimes \rho _{k}^{(2)}$

ahol

$\sum _{k}p_{k}=1,$

és $p_{k}\geq 0$. Itt $\rho$ a teljes rendszer sűrűségmátrixa, míg $\rho _{k}^{(1)}$ és $\rho _{k}^{(2)}$ az első, illetve a második részrendszerhez tartozó sűrűségmátrixok.

A maximálisan kevert állapotot szokás teljesen kevert állapotnak is hívni. Sűrűségmátrixa:

$\rho =I/d$,

ahol $I$ az egységmátrix és $d$ a rendszer dimenziója. Erre az állapotra, minden operátor várható értéke a mátrix nyomával arányos

$\langle A\rangle ={\rm {trace}}(A)/d$.

A maximálisan kevert állapot tisztasága minimális

${\rm {trace}}(\rho ^{2})=1/d.$

Ennek megfelelően a lineáris entrópiája maximális

$S_{\rm {lin}}(\rho )=1-{\rm {trace}}(\rho ^{2})=(d-1)/d.$

A maximálisan kevert állapot Neumann-entrópiája is maximális

$S(\rho )=-{\rm {trace}}(\rho \log \rho )=\log d.$

Alkalmazása

A kvantum-összefonódás a kvantuminformatika egyik alapvető fogalma. Mint erőforrás lehetővé teszi, hogy kvantuminformatikai algoritmusok (például kvantumteleportáció) nagyobb hatékonysággal működjenek, mintha összefonódás nem állna rendelkezésre. Másrészt annak eldöntése, hogy egy kvantumállapot szeparálható-e vagy összefonódott, fontos elméleti probléma, amivel az utóbbi évtizedben számos tudományos közlemény foglalkozik.

Irodalom

• M.A. Nielsen, I.L. Chuang: Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press; első kiadás (2000. szeptember)