Imaginárius egység

Az i imaginárius egység és hatványai (i, -1, -i, 1) a komplex számsíkon. A valós számok a vízszintes, a tisztán képzetes számok a függőleges tengelyen találhatók

A matematikában az imaginárius egység (vagy képzetes egység) egy olyan komplex szám, melynek négyzete −1. Leggyakrabban i, j vagy az ι (ióta) betűvel jelölik. Az imaginárius egység bevezetésével a valós számok halmaza ($\mathbb {R}$) kiterjeszthető a komplex számok halmazára ($\mathbb {C}$). A pontos meghatározás a kiterjesztés módjától függ.

Meghatározás

A képzetes egység az alábbi másodfokú egyenlet egyik megoldásaként definiálható. x²+1=0, vagy másképpen x²=-1.

Ez az egyenlet a valós számok halmazán nem oldható meg, mert nincs olyan valós szám, aminek a négyzete negatív lenne. Alkothatunk azonban egy új, a valós számokon kívül álló számot, melynek meghatározó tulajdonsága, hogy kielégíti a fenti egyenletet. Az, hogy ez a mesterségesen megalkotott szám létezik-e vagy sem, nem matematikai, hanem filozófiai kérdés. Matematikai szempontból éppen annyira jól definiált fogalom, mint más számok.

A képzetes egységre a valós számoknál megszokott műveleteket is kiterjeszthetjük. Ennek módja, hogy i-t ismeretlen matematikai objektumként kezeljük, az egyetlen átalakítás, amit megtehetünk vele kapcsolatban az, hogy alkalmazzuk a meghatározást (0=x²+1) és i² helyett -1-et írunk. Ezt az elvet követve megállapítható, hogy i magasabb egész kitevős hatványai -i, 1 és i:

i³=i²•i=-i,

i⁴=i³•i=-i•i=-1•-1=1

i és -i

A $x^{2}=-1\,\!$ egyenletnek i bevezetése után 2 elkülönülő megoldása is van, amik egyenlően érvényesek és történetesen az ellentettjei és reciprokai egymásnak. Pontosabban, ha egyszer az egyenlet i megoldása adott (i definíciója alapján), akkor a -i (ami nem egyenlő i-vel) is egy megoldás. Miután az egyenletet használtuk i meghatározására, úgy tűnhet, hogy az egyenlet gyökei bizonytalanok (avagy nem jól definiáltak). Azonban nincs kétértelműség, amíg a megoldások egyike ki van nevezve „pozitív i”-nek. Ez azért van, mert habár i és -i mennyiségileg nem egyenlőek (ellentettjei egymásnak), a valós számok felől közelítve minőségileg azonosak: Mindkét imaginárius szám ugyanúgy lehet az a szám aminek a négyzete -1. Ha minden imaginárius vagy komplex számra vonatkozó tankönyvben és publikált irodalomban a -i-t +i-re cserélnénk (és ugyanúgy minden +i-t -i-re) minden tény és elmélet ugyanúgy érvényes maradna. Az $x^{2}+1=0\,\!$ két $x\,\!$ gyöke közül egyik sem mondható előbbvalónak a másiknál.

Precízebben fogalmazva bár a komplex számok halmaza $\mathbb {R} [X]/(x^{2}+1)\,\!$-ként meghatározva egyedi az izomorfizmus szintjén (azaz minden lehetséges ilyen struktúra izomorf egymással), abban az értelemben nem egyedi, hogy pontosan 2 halmaz automorfizmusa van $\mathbb {R} [X]/(x^{2}+1)\,\!$-nek, az azonosság X -X-be történő autormorfikus megváltoztatásával. (Ezek nem $\mathbb {C}$ kizárólagos automorfikus csoportjai, hanem csak azok, melyek megtartják mindegyik valós számot állandóként.)

Egy hasonló probléma merül fel, ha a komplex számokat 2 × 2-es valós mátrixokként definiáljuk, mert akkor mindkét

$x={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\\\end{bmatrix}}$

és

$x={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\\\end{bmatrix}}$

megoldása az :$x^{2}={\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\\\end{bmatrix}}$

mátrixegyenletnek.

Ebben az esetben a bizonytalanság abból származik, hogy melyik a „pozitív” körforgás „iránya” az egység-körben. Úgy lehetne pontosabban mondani, hogy a speciális ortogonális csoport automorf csoportja SO (2, R) pontosan 2 elemet tartalmaz - az egyenlőséget egy automorfizmus váltja át az órajárással megegyező irányból órajárással ellentétes iránnyá.

Ezek a felszíni kellemetlenségek elkerülhetők a komplex szám más definícióinak használatával. Például a rendezett páron alapuló definíció esetén az imaginárius egység a (0; 1) párnak felel meg.

Pontos használat

Az imaginárius egység néha ${\sqrt {-1}}$-ként is megtalálható magasabb szintű matematikai szövegkörnyezetben, valamint laikusoknak szóló népszerű szövegekben is; azonban ez megtévesztő lehet. A négyzetgyökjelet általában csak a valós $x\geq 0\,\!$ számokra szokás értelmezni, esetleg komplex számoknál az elsődleges komplex négyzetgyököt lehet jelölni vele. Ha a valós számok halmazából ismert gyökvonási azonosságokat próbáljuk alkalmazni a komplex számok elsődleges gyökvonási műveletére, akkor hibás eredményeket kaphatunk:

$-1=i*i={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}={\sqrt {-1\cdot -1}}={\sqrt {1}}=1$. (hibás)

A

${\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}$

azonosság csak a és b nem negatív valós értékeinél áll fenn. Hogy elkerüljük az ilyen hibákat, miközben manipuláljuk a komplex számokat, egy lehetséges megoldás, hogy sose használjunk negatív számot a gyökjel alatt. Például ${\sqrt {-7}}$ helyett célszerűbb $i{\sqrt {7}}$-t írni.

Az imaginárius egység négyzetgyöke

Azt hihetnénk, hogy kénytelenek vagyunk kitalálni egy újabb adag imaginárius számot, hogy kifejezhessük i négyzetgyökét. Azonban ez nem szükséges, mert kifejezhető mint két komplex szám egyike:

$\pm {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)$, amennyiben $({\sqrt {C}})^{2}=i$

Ez levezethető Euler formulájából:

$i=\cos(\pi /2)+i\sin(\pi /2)\,$

és

$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,$

ezért

$e^{i(\pi /2)}=i\,\!$

négyzetgyököt vonva mindkét oldalból:

$e^{i(\pi /4)}=i^{1/2}\,\!$

ha x = π/4 in cos(x), akkor

${\begin{aligned}\pm {\sqrt {i}}&=\cos(\pi /4)+i\sin(\pi /4)\\&={\frac {1}{\pm {\sqrt {2}}}}+{\frac {i}{\pm {\sqrt {2}}}}\\&={\frac {1+i}{\pm {\sqrt {2}}}}\\&={\frac {\pm {\sqrt {2}}(1+i)}{2}}\\&=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).\\\end{aligned}}$

Ennek helyességét a következőkből tudhatjuk:

$\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\$	$=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\$
	$={\frac {1}{2}}(1+i)(1+i)\$
	$={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad \quad (i^{2}=-1)\$
	$={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\$
	$={\frac {1}{2}}(2i)\$
	$=i.\$

Köbgyöke

Az i köbgyökei:

$-i,$

$+{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}},$

$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}}.$

A többi egységgyökhöz hasonlóan egy egységkörbe írt szabályos sokszög csúcsain helyezkednek el.

i reciproka

i reciproka könnyedén kifejezhető:

${\frac {1}{i}}={\frac {1}{i}}\cdot {\frac {i}{i}}={\frac {i}{i^{2}}}={\frac {i}{-1}}=-i$

Használva az azonosságot, hogy általánosítsuk az osztást minden i komplex számra:

${\frac {a+bi}{i}}=-i\,(a+bi)=-ai-bi^{2}=b-ai$

i hatványai

i hatványai egy körben ismétlődnek:

$\ldots$

$i^{-3}=i\,$

$i^{-2}=-1\,$

$i^{-1}=-i\,$

$i^{0}=1\,$

$i^{1}=i\,$

$i^{2}=-1\,$

$i^{3}=-i\,$

$i^{4}=1\,$

$i^{5}=i\,$

$i^{6}=-1\,$

$\ldots$

Ezt a következő sorozattal fejezhetjük ki, ahol n egész szám:

$i^{4n}=1\,$

$i^{4n+1}=i\,$

$i^{4n+2}=-1\,$

$i^{4n+3}=-i.\,$

Ebből következik, hogy:

$i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}\,$

ahol mod a modulus művelet.

i és Euler képlete

Euler képlete a következő:

$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,$ ,

ahol x egy valós szám. A függvény analitikusan kiterjeszthető komplex x-re is. Az x = π helyettesítés a következőt eredményezi:

$e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )=-1+i0\,$

és meg is kapjuk az elegáns Euler-azonosságot:

$e^{i\pi }+1=0.\,$

Ez a rendkívül egyszerű egyenlet összekapcsol öt alapvető matematikai mennyiséget (0, 1, π, e és i) az összeadás, szorzás és hatványozás egyszerű műveletével.

Példa

x=π/2-2Nπ, helyettesítése, ahol N egy tetszőleges egész szám, a következőt adja:

$e^{i(\pi /2-2N\pi )}=i.\,$

vagy, mindkettőt i hatványra emelve:

$e^{ii(\pi /2-2N\pi )}=i^{i}\,$

vagy

$e^{-(\pi /2-2N\pi )}=i^{i}\,$,

ami megmutatja, hogy iⁱ-nek végtelen számú előállítása van az alábbi formában:

$i^{i}=e^{-\pi /2+2\pi N}\,$

ahol N akármelyik egész szám. Az igazi érték, habár igazi, nem az egyedüli, ennek az az oka, hogy a komplex logaritmus több értékű képlet.

Műveletek i-vel

Alapműveletek

Az i-vel való szorzás a pozitív irányú 90 fokos forgatásnak felel meg:

$i\,(a+bi)=ai+bi^{2}=-b+ai.$

Az i-vel való osztás ugyanazt az eredményt adja, mint a reciprokkal való szorzás:

${\frac {1}{i}}={\frac {1}{i}}\cdot {\frac {i}{i}}={\frac {i}{i^{2}}}={\frac {i}{-1}}=-i.$

Ezzel az i-vel való osztás eredménye:

${\frac {a+bi}{i}}=-i\,(a+bi)=-ai-bi^{2}=b-ai.$

vagyis megfelel egy negatív irányú 90 fokos forgatásnak.

További műveletek

Sok valós számmal elvégezhető művelet elvégezhető i-vel is, úgy mint a hatványozás, a gyökvonás, logaritmizálás és trigonometrikus egyenletek megoldása.

Egy szám ni-edik hatványa:

$\!\ x^{ni}=\cos(\ln(x^{n}))+i\sin(\ln(x^{n}))$.

Egy szám ni-edik gyöke:

$\!\ {\sqrt[{ni}]{x}}=\cos(\ln({\sqrt[{n}]{x}}))-i\sin(\ln({\sqrt[{n}]{x}})).$

Egy szám i alapú logaritmusának főértéke:

$\log _{i}(x)={{2\ln(x)} \over i\pi }.$

i koszinusza egy valós szám:

$\cos(i)=\cosh(1)={{e+1/e} \over 2}={{e^{2}+1} \over 2e}=1{,}54308064.$

és i szinusza imaginárius:

$\sin(i)=\sinh(1)\,i={{e-1/e} \over 2}\,i={{e^{2}-1} \over 2e}\,i=1{,}17520119\,i.$

A faktoriális általánosítása a teljes gammafüggvény: 1 + i:

$i!=\Gamma (1+i)\approx 0{,}4980-0{,}1549i.$

Továbbá,

$|i!|={\sqrt {\pi \over \sinh \pi }}$

i az i-ediken

Az Euler-formulával kifejezve:

$i^{i}=\left(e^{i(\pi /2+2k\pi )}\right)^{i}=e^{i^{2}(\pi /2+2k\pi )}=e^{-(\pi /2+2k\pi )}$

ahol $k\in \mathbb {Z}$ tetszőleges egész szám. Ennek főértékét k = 0 adja, ami valós szám: e^−π/2, értéke megközelítőleg 0,207879576...

Alternatív jelölések

• Az elektronikában és a kapcsolódó területeken, az imaginárius egység gyakran $j\,$-ként van jelölve, hogy elkerüljék az áramerősséggel való felcserélését. A Python is a j-t használja az imaginárius egység jelölésére és a Matlabban az i-t és a j-t is használhatjuk.
• Különleges odafigyelést igényelnek az olyan szövegek, melyek a j-t -i-ként definiálják.
• Néhány szöveg az ι-t használja az imaginárius egység jelölésére.