Erdős–Rényi-modell

Az Erdős–Rényi-modell a gráfelméletben két rokon, véletlen gráfok előállítására szolgáló modell neve. Az egyik változata egyenlő valószínűséggel választ az összes adott élszámú gráf közül, a másiknál minden él egymástól függetlenül egy adott valószínűséggel van behúzva.

Definíció

Az Erdős–Rényi-modellnek két, szorosan összefüggő változata van.

A G(n, M) modellben egyenletes eloszlás szerint választunk egyet az összes n csúcsú, M élű gráf közül. Például a G(3,2) modellben a három, két vonal behúzásával kapható gráf mindegyikét 1/3 valószínűséggel választjuk.
A G(n, p) modellben a gráfot az élek véletlen behúzásával kapjuk: minden élt, egymástól függetlenül, p valószínűséggel húzunk be. Más megközelítésben, először a $p^{M}(1-p)^{{n \choose 2}-M}$ eloszlás szerint választunk egy M-et, majd generálunk egy G(n, M) gráfot. A p egyfajta súlyfüggvényként fogható fel: nagyobb p értékekre nagyobb valószínűséggel kapunk sok élt tartalmazó gráfot. Speciálisan p = 0,5-re egyforma valószínűséggel választjuk mind a $2^{\tbinom {n}{2}}$ lehetséges gráfot.

A p és M paramétereket gyakran n függvényeként adják meg, és azt vizsgálják, mit lehet mondani valamilyen tulajdonság előfordulásának valószínűségéről, ha n tart a végtelenbe. Például a „majdnem minden $G(n,{\tfrac {2\ln n}{n}})$ gráf összefüggő” állítás azt jelenti, hogy annak valószínűsége, hogy egy $G(n,{\tfrac {2\ln n}{n}})$ gráf összefüggő, tart az 1-hez, ha n tart a végtelenhez.

A két modell összehasonlítása

Ha T egy monoton tulajdonság (azaz ha egy részgráfra teljesül, akkor a teljes gráfra is), akkor T akkor és csak akkor teljesül majdnem minden G(n,p) gráfra, ha majdnem minden $G(n,{\tbinom {n}{2}}p)$ gráfra teljesül (ahol $np^{2}$ tart a végtelenhez).

(Az összefüggés azon alapszik, hogy egy G(n,p) gráf éleinek várható száma ${\tbinom {n}{2}}p$ , és a nagy számok törvénye szerint minden G(n,p)-gráfnak majdnem biztosan körülbelül ennyi éle lesz, ha n tart végtelenhez. így ha $pn^{2}$ tart a végtelenhez, akkor G(n,p) és $G(n,{\tbinom {n}{2}}p)$ között nincs olyan nagy különbség.)

A gyakorlatban inkább a G(n, p) modellt használják, többek között azért, mert az élek függetlensége gyakran megkönnyíti az elemzést.

G(n, p) tulajdonságai

G(n, p)-nek átlagosan ${\tbinom {n}{2}}p$ éle van. Az egyes csúcsok fokszámeloszlása binomiális:

P(\operatorname {deg} (v)=k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}

Erdős és Rényi p és n arányával nagyon pontosan jellemezni tudta egy G(n,p) gráf összefüggőségét.^[1] Többek között bebizonyították, hogy

ha $np<1$ , akkor egy G(n,p) gráfnak majdnem biztosan nem lesz $O(\log n)$ -nél nagyobb összefüggő komponense.
Ha $np=1$ , akkor egy G(n,p) gráf legnagyobb összefüggő komponense majdnem biztosan konstansszor $n^{2/3}$ nagyságrendű lesz.
Ha $np$ egy 1-nél nagyobb konstanshoz tart, akkor egy G(n,p) gráfnak majdnem biztosan lesz egy „óriás” összefüggő komponense, ami konstansszor n nagyságrendű lesz, és az összes többi komponens legfeljebb $O(\log n)$ csúcsot tartalmaz.

Továbbá:

Ha $p<{\tfrac {(1-\varepsilon )\ln n}{n}}$ , akkor egy G(n, p) gráf majdnem biztosan nem összefüggő.
Ha $p>{\tfrac {(1+\varepsilon )\ln n}{n}}$ , akkor egy G(n, p) gráf majdnem biztosan összefüggő.

Más szóval az ${\tfrac {\ln n}{n}}$ éles küszöb G(n, p) összefüggőségére. Ezt a jelenséget, amikor egy gráfra egy adott tulajdonság egy bizonyos küszöb alatt majdnem biztosan nem teljesül, a küszöb fölött pedig majdnem biztosan teljesül, fázisátmenetnek nevezik.

Más tulajdonságok is nagy pontossággal leírhatók végtelenhez tartó n mellett. Például van olyan k(n) függvény (ami körülbelül megegyezik $2\log _{2}n$ -nel), hogy a legnagyobb G(n, 0,5)-beli klikk mérete majdnem biztosan vagy k(n) vagy k(n) + 1.^[2]

A majdnem biztosan összefüggő G(n, p) gráfok majdnem biztosan kis-világ tulajdonságúak is.^[forrás?]

A modell korlátai

A G(n, p) modell két fő feltevése (hogy az élek függetlenek, és minden él megléte egyformán valószínű) a gyakorlatban ritkán teljesül. Az érdekes hálózatok nagy része például skálafüggetlen, egy Erdős–Rényi-gráf viszont nem az. Emellett az Erdős–Rényi-gráfok klaszterezettsége 1/n körül van, a vizsgált hálózatoké pedig gyakran konstans.

Története

A G(n, p) modellt először Edgar Gilbert vezette be egy 1959-es cikkében, amiben gráfok összefüggőségének a feltételeit vizsgálta.^[3] A G(n, M) modellt Erdős Pál és Rényi Alfréd vezette be, szintén 1959-ben, és szintén az összefüggőséget vizsgálva;^[4]

Lásd még

Források

↑ Erdős, P., Rényi, A. (1960). „On The Evolution of Random Graphs”. Magyar Tud. Akad. Mat. Kutató Int. Közl. 5, 17-61. o.
↑ Bollobás, B., Erdős, P. (1976). „Cliques in Random Graphs”. Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 80 (3), 419-427. o.
↑ Gilbert, E.N. (1959). „Random Graphs”. Annals of Mathematical Statistics 30, 1141-1144. o.
↑ Erdős, P., Rényi, A. (1959). „On Random Graphs. I.”. Publicationes Mathematicae 6, 290-297. o.

Bollobás, B.. Random Graphs, 2nd, Cambridge University Press (2001). ISBN 0521797225
West, Douglas B.. Introduction to Graph Theory, 2nd, Prentice Hall (2001). ISBN 0-13-014400-2

[1] Erdős, P., Rényi, A. (1960). „On The Evolution of Random Graphs”. Magyar Tud. Akad. Mat. Kutató Int. Közl. 5, 17-61. o.

[2] Bollobás, B., Erdős, P. (1976). „Cliques in Random Graphs”. Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 80 (3), 419-427. o.

[3] Gilbert, E.N. (1959). „Random Graphs”. Annals of Mathematical Statistics 30, 1141-1144. o.

[4] Erdős, P., Rényi, A. (1959). „On Random Graphs. I.”. Publicationes Mathematicae 6, 290-297. o.

[1]

[2]

[3]

[4]