Dini-féle konvergenciakritérium

A Fourier-sorok konvergenciájára számos elégséges feltétel ismeretes. Ezek közül az egyik legegyszerűbb a következő:

DINI-FÉLE KRITÉRIUM. Legyen $\varphi _{x}(t)=f(x-t)+f(x+t)-2f(x)$. Ha valamely $x$-re a

${\frac {\varphi _{x}(t)}{t}}$

függvény a $t=0$ pont környezetében $t$-nek integrálható függvénye (Lebesgue-értelemben), akkor

$s_{n}(x)\rightarrow f(x),(n\rightarrow \infty )$

Bizonyítás. A Dirichlet-féle képletekből

$s_{n}(x)-f(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\varphi _{x}(t){\frac {\sin \left(n+{\frac {1}{2}}\right)t}{2\sin {\frac {1}{2}}t}}\,dt=$ $={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\varphi _{x}(t)}{t}}\ {\frac {t}{2\sin {\frac {1}{2}}t}}\cdot \sin \left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\,dt$

A ${\frac {t}{2\sin {\frac {1}{2}}t}}$ függvény a $\left[0,\pi \right]$ zárt intervallumon folytonos, így korlátos, az ${\frac {\varphi _{x}(t)}{t}}$ integrálható függvénnyel való szorzata is integrálható. A Riemann–Lebesgue lemma szerint tehát $n\rightarrow \infty$ esetén, az integrál $0$-hoz tart.

A Dini-féle kritérium speciális eseteként adódik a Lipschitz-féle konvergenciakritérium.

Ajánlott irodalom

• Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok (1954).