Koszinusztétel

Jelölések

A koszinusztétel a derékszögű háromszögekre vonatkozó Pitagorasz-tétel általánosítása tetszőleges háromszögekre. Az ábra jelöléseivel:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,$

vagy másként:

$\cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$

Bizonyítások

Háromszögekre bontással

A tétel bizonyítható egy háromszög két derékszögű háromszögre való felbontásával.

Koszinusztétel bizonyítása

Ekkor az ábrán bal oldalon látható derékszögű háromszögre felírva a Pitagorasz-tételt kapjuk az állítást:

$c^{2}\,$	$=(b-a\cos(\gamma ))^{2}+(a\sin(\gamma ))^{2}\,$
	$=b^{2}-2ab\cos(\gamma )+a^{2}(\cos ^{2}(\gamma )+\sin ^{2}(\gamma ))\,$
	$=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma ),\,$

felhasználva a $\cos ^{2}(\gamma )+\sin ^{2}(\gamma )=1\,$ trigonometriai azonosságot. QED

Megjegyzés

Ez a bizonyítás egy kisebb módosítást igényel, ha $b<a\cos(\gamma )$. Ebben az esetben a bal oldali háromszög, amire felírtuk a Pitagorasz-tételt, a háromszögön kívül lesz. A változás a bizonyításban csupán az, hogy $b-a\cos(\gamma )$ helyett $a\cos(\gamma )-b$ szerepel. Mivel a bizonyításban ennek a mennyiségnek csak a négyzete szerepel, a bizonyítás maradék része változatlan marad.

Vektorok segítségével

Az $ABC$ háromszög adott. $C$-ből indítsuk a helyvektorokat. $A$-ba mutató vektor legyen $a$. $B$-be mutató vektor legyen $b$. Az $a$ és $b$ vektorok hajlásszöge legyen $\gamma$.

Ekkor $c=a-b$ ⇒ $c^{2}=(a-b)^{2}$ ⇔ $|c|^{2}=|a|^{2}+|b|^{2}-2|a||b|\cos \gamma$. (Mert a skaláris szorzat disztributív a vektorösszeadásra nézve.) QED

Koordinátarendszerben

Koszinusztétel bizonyítása koordináta-rendszerben

Helyezzük el az $ABC\triangle$-et derékszögű Koordináta-rendszerben úgy, hogy a $C$ csúcs az origóba essen, és a $B$ csúcs az x tengelyre kerüljön. A háromszögben legyen adott $CA=b,\,CB=a$ oldal és a $BCA\angle =\gamma$ szög, így a $B$ csúcs koordinátái $B(b,0)$. Ekkor az $A$ csúcs koordinátái $A(b\cos \gamma ;b\sin \gamma )$. Az $AB=c$ oldal hosszúságára a Pitagorasz-tétel alkalmazásával kapjuk:

${\begin{aligned}c^{2}&=\left(b-a\cos \gamma \right)^{2}+\left(0-a\sin \gamma \right)^{2}\\c^{2}&=b^{2}+a^{2}\cos ^{2}\gamma -2ab\cos \gamma +a\sin ^{2}\gamma \\c^{2}&=b^{2}+a^{2}\underbrace {\left(\cos ^{2}\gamma +\sin ^{2}\gamma \right)} _{=1}-2ab\cos \gamma \\c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \end{aligned}}$

QED

Megjegyzés

A bizonyítás során nem kellett figyelembe venni a két oldal által bezárt szög típusát, ezért bármilyen háromszögre általánosan igaz. Emellett minimalista abban a tekintetben, hogy a lehető legkevesebb előfeltétellel él (pont koordinátái, Pitagorasz tétele).

Alkalmazások

A koszinusztétel segítségével meg lehet határozni egy háromszög többi adatát két oldalából és az általuk közbezárt szögből vagy három oldalból. Az utóbbi esetben célszerű a meghatározást a legnagyobb oldallal szemközti szöggel kezdeni, így ugyanis a többi szög a szinusztétel használatával is egyértelmű lesz (mivel ezek már biztosan hegyesszögek).

Források

• Weisstein, Eric W.: Koszinusztétel (angol nyelven). Wolfram MathWorld

Kapcsolódó szócikkek

• Tangenstétel
• Szinusztétel
• Kotangenstétel
• Vetületi tétel
• Trigonometrikus azonosságok
• Mollweide-formula