Brun–Titchmarsh-tétel

Az analitikus számelmélet területén a Viggo Brun és Edward Charles Titchmarsh matematikusokról elnevezett Brun–Titchmarsh-tétel vagy Brun–Titchmarsh-féle egyenlőtlenség felső korlátot ad a prímszámok számtani sorozatbeli eloszlására. Kimondja, hogy ha $\pi (x;q,a)$ a p prímszámokat számolja meg, melyek kongruensek a-val modulo q úgy, hogy p ≤ x, akkor

$\pi (x;q,a)\leq {2x \over \varphi (q)\log(x/q)}$

minden q < x-re. A tételt a szitamódszer segítséggel Montgomery és Vaughan igazolta; Brun és Titchmarsh csak az egyenlőtlenség egy gyengébb változatát tudta bizonyítani, ahol még egy $1+o(1)$ szorzó tényező is szerepel.

Ha q viszonylag kicsi, pl. $q\leq x^{9/20}$, létezik jobb felső korlát is:

$\pi (x;q,a)\leq {(2+o(1))x \over \varphi (q)\ln(x/q^{3/8})}$

Ezt Y. Motohashi (1973) határozta meg. A Selberg-szita hibatagjának általa felfedezett bilineáris struktúráját használta fel ehhez. Később az ötletét, hogy a szita hibájának struktúráját érdemes felhasználni, az analitikus számelmélet fontos módszerévé fejlesztették, H. Iwaniec kombinatorikus szitához való kiegészítésének köszönhetően.

Ezzel ellentétben, Dirichlet tétele aszimptotikus eredményt ad, ami így fejezhető ki:

$\pi (x;q,a)={\frac {x}{\varphi (q)\log(x)}}\left({1+O\left({\frac {1}{\log x}}\right)}\right)$

de ez csak korlátozottabban érvényesül: q < (log x)^c konstans c-re: ez a Siegel–Walfisz-tétel.

Jegyzetek

• Motohashi, Yoichi (1983), Sieve Methods and Prime Number Theory, Tata IFR and Springer-Verlag, ISBN 3-540-12281-8
• Hooley, Christopher (1976), Applications of sieve methods to the theory of numbers, Cambridge University Press, p. 10, ISBN 0-521-20915-3
• Mikawa, H. (2001), "b/b110970", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Montgomery, H.L. & Vaughan, R.C. (1973), "The large sieve", Mathematika 20: 119–134.