Arkhimédészi testek
Az arkhimédészi testek (Arkhimédész-féle poliéderek) sokszimmetriájú, félig szabályosnak is nevezett, konvex testek. Két- vagy többféle szabályos sokszög alkotja a lapjaikat, és csúcsalakzataik is egybevágók (de már nem mindig szabályosak, mint az fönnáll a szabályos testekre). Különböznek tehát a platóni vagy szabályos testektől. Nem soroljuk közéjük a prizmákat és az antiprizmákat sem, mert ezeknek kitüntetett forgástengelyük van.
Nevük eredete
[szerkesztés]Az arkhimédészi testek a nevüket Arkhimédészről kapták, aki részletesen tárgyalta őket egy elveszett munkájában. A reneszánszban kezdték a művészek ismét nagyra értékelni a tiszta formákat és újra fölfedezték őket. 1620-ban Johannes Kepler tette teljessé az ilyen testek körét, aki együtt tárgyalta őket a prizmákkal és az antiprizmákkal.
Osztályozásuk
[szerkesztés]13 arkhimédészi test van. (Illetve 15 akkor, ha a tükörképi változatokat is figyelembe vesszük az enantiomorf pároknál). Legegyszerűbb megadni őket a csúcsalakzataikkal: azokkal a szabályos sokszögekkel, amik találkoznak egy csúcsukban. Például a (4,6,8) csúcsalakzat azt jelenti, hogy egy csúcsban egy négyzet, egy szabályos hatszög és egy szabályos nyolcszög találkozik.
| A test neve (Csúcsalakzat) |
Áttetsző ábrája | Szilárd test ábrája | Kiteregetett hálózatos ábrája | Lapok | Lapok (típusuk szerint) |
Élek | Csúcsok | A gömbi szimmetriacsoportok listája |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| csonkított tetraéder (3.6.6) |
 (Animation) |
|
|
8 | 4 háromszög 4 hatszög |
18 | 12 | Td |
| kuboktaéder (3.4.3.4) |
 (Animation) |
|
|
14 | 8 háromszög 6 négyzet |
24 | 12 | Oh |
| csonkított kocka vagy csonkított hexaéder (3.8.8) |
 (Animation) |
|
|
14 | 8 háromszög 6 nyolcszög |
36 | 24 | Oh |
| csonkított oktaéder (4.6.6) |
 |
|
|
14 | 6 négyzet 8 hatszög |
36 | 24 | Oh |
| rombikuboktaéder vagy kis rombikuboktaéder (3.4.4.4) |
 (Animation) |
|
|
26 | 8 háromszög 18 négyzet |
48 | 24 | Oh |
| csonkított kuboktaéder vagy nagy rombikuboktaéder (4.6.8) |
 (Animation) |
|
|
26 | 12 négyzet 8 hatszög 6 nyolcszög |
72 | 48 | Oh |
| pisze kocka vagy pisze hexaéder vagy pisze kuboktaéder (2 királis alak) (3.3.3.3.4) |
 (Animation)  (Animation) |
|
|
38 | 32 háromszög 6 négyzet |
60 | 24 | O |
| ikozidodekaéder (3.5.3.5) |
 (Animation) |
|
|
32 | 20 háromszög 12 ötszög |
60 | 30 | Ih |
| csonkított dodekaéder (3.10.10) |
 (Animation) |
|
|
32 | 20 háromszög 12 tízszög |
90 | 60 | Ih |
| csonkított ikozaéder vagy Fullerén vagy Futball-labda/focilabda (5.6.6) |
 (Animation) |
|
|
32 | 12 ötszög 20 hatszög |
90 | 60 | Ih |
| rombikozidodekaéder vagy kis rombikozidodekaéder (3.4.5.4) |
 (Animation) |
|
|
62 | 20 háromszög 30 négyzet 12 ötszög |
120 | 60 | Ih |
| csonkított ikozidodekaéder vagy nagy rombikozidodekaéder (4.6.10) |
 (Animation) |
|
|
62 | 30 négyzet 20 hatszög 12 tízszög |
180 | 120 | Ih |
| pisze dodekaéder vagy pisze ikozidodekaéder (2 királis alak) (3.3.3.3.5) |
 (Animation)  (Animation) |
|
|
92 | 80 háromszög 12 ötszög |
150 | 60 | I |
A kuboktaéder és az ikozidodekaéder élei uniformok, ezért kváziszabályos testeknek is nevezik őket.
A pisze kockát és a pisze dodekaédert királis testeknek is nevezik, mert előállnak balkezes (latinul: laevo bal, levomorf) alakban is és jobbkezes (latinul: dextro jobb, dextromorf) alakban is. Ha egy háromdimenziós alakzat előáll úgy, mint két alakzat tükörképi párja, akkor ezeket a testeket enantiomorf pároknak nevezzük. Ezt a szakkifejezést főleg a kémiai vegyületekre használják.
Az arkhimédészi testek duális párját alkotó testeket Catalán-testeknek nevezik. Ezeknek a csúcsalakzataik a szabályosak, lapjaik pedig egybevágó, de nem szabályos lapok.
A platoni és arkhimédészi testek periódusos rendszere
[szerkesztés]Ha megengedjük, hogy a platoni és arkhimédészi testek több példányban is előforduljanak, akkor a duális platoni testek fölhasználásával a következő periodikus táblázatot állíthatjuk össze.
Középen állnak az egyszerű csonkítási sor tagjai. Például a kocka esetén ezek a következők: (A táblázatban is használt Steiner szimbólummal adjuk meg őket): (3,3,3,3), (4,6,6), (3,4,3,4), (3,8,8), (4,4,4). Vagyis az oktaéderrel kezdődő és a kockával végződő (az ábrán a középső) sort adtuk itt meg.
Megszoktuk, hogy az egyedi eseteket soroljuk föl egy-egy készlet megadásánál. Ezt tesszük a platoni testek és az arkhimédészi testek fölsorolásánál is. Azonban a rajtuk lévő sokféle szabályosság lehetővé teszi azt is, hogy tömörebben ábrázoljuk őket, táblázatosan. Ezért azonban árat kell fizetni. Ez az ár pedig az, hogy szerepköre, vagyis a csonkítás alapján, egyféle testnek a sorban többször is meg kell jelennie. Ezen az áron viszont egy szemléletes és jól áttekinthető táblázathoz jutunk és ez nem kis előny.
Kapcsolódó szócikkek
[szerkesztés]Irodalom
[szerkesztés]- Coxeter, H. S. M. (1987): Geometriák alapjai. Műszaki Könyvkiadó, Budapest
- Coxeter, H. S. M. (1948): Regular Polytopes. Methuen and Co.,
- Coxeter, H. S. M. (1974): Regular Complex Polytopes. Cambridge University Press,
- Fejes Tóth L. (1964): Regular figures. Pergamon Press, 1964, xi+339 pp
- Lakatos I. (1988): Bizonyítások és cáfolatok. Typotex Könyvkiadó, Budapest
- Bérczi Sz. (1979): A szabályos és féligszabályos (platoni és archimedészi) testek és mozaikok periódusos rendszere. Középiskolai Matematikai Lapok. 59. 5. sz. 193-199. old.
- Bérczi Sz. (1990): Szimmetria és struktúraépítés. Egyetemi jegyzet. Tankönyvkiadó, Budapest
- Bérczi Sz. (1992): Sejtautomaták: platoni és archimedészi testeken át. Iskolakultúra. II. 22. sz. 30-43. . (HU ISSN 1215-5233)
- Bérczi Sz. (1993): Double Layered Equation of Motion: Platonic and Archimedean Cellular Automata in the Solution of the Indirect Von Neumann Problem on Sphere for Transformations of regular Tessellations. Acta Mineralogica et Petrographica, Szeged, XXXIX. p. 96-117. (HU ISSN 0365-8006)
- Bérczi Sz. (2003): From the Periodic System of Platonic and Archimedean Solids and Tessellations to the 4D Regular Polyhedra and Tessellations (with Extensions to Some 5D Polytopes). Symmetry: Culture and Science, 11. No. 1-4. p. 125-137. (ISSN 0865-4824)
További információk
[szerkesztés]- Hargittai István beszélgetése Fejes Tóth Lászlóval, Magyar Tudomány, 2005. március.
- Arkhimédeszi testek írta Eric W. Weisstein, A Wolfram Demonstrations Project egyik demonstrációja.
- Papírmodellek az arkhimédészi testekről és a katalán testekről
- Papírmodellek az Arkhimédeszi testekről
- Az uniform testekről írta Dr. R. Mäder
- Virtuális valóság testek, The Encyclopedia of Polyhedra George W. Hart honlapján.
- Penultimate Moduláris Origami írta James S. Plank
- Interaktív 3D poliéderek Java nyelven.
- Korunkbeli Arkhimédészi testfelületek[halott link] Tervezte Tom Barber
- Stella: Poliéder Navigátor: Egy olyan szoftver, amelynek segítségével többet is elkészítettek az ezen az oldalon látható ábrákból.
- Kabai Sándor Wolfram Demonstrációs grafikái a féligszabályos testek gömböcös kialakításáról.
- Erdély Dániel spidronizált Arkhimédészi testjei
- Arkhimédészi testek interaktív 3D megjelenítése Archiválva 2013. április 11-i dátummal az Archive.is-en
