Általános Dirichlet-sor

Az általános Dirichlet-sor a matematikai analízisben egy

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s},$

alakú sor, ahol $a_{n}$ és $s$ komplex számok, és $\{\lambda _{n}\}$ pozitív számok szigorúan monoton növő sorozata, ami a végtelenbe tart.

Egy egyszerű megfigyelés szerint a közönséges Dirichlet-sor is általános Dirichlet-sor:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},$

ahol $\lambda _{n}=\log n$.

A hatványsorok is speciális általános Dirichlet-sorok:

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(e^{-s})^{n},$

ahol $\lambda _{n}=n$.

Tulajdonságok

Ha a Dirichlet-sor konvergens $s_{0}=\sigma _{0}+t_{0}i$-ban, akkor egyenletesen konvergens az

$|{\text{arg}}(s-s_{0})|\leq \theta <{\frac {\pi }{2}},$

tartományban, és konvergens minden $s=\sigma +ti$-ben, ahol $\sigma >\sigma _{0}$.

Ha a sor nem mindenütt, csak a komplex sík egy részén konvergens, akkor létezik egy $\sigma _{c}$, hogy a sor $\sigma >\sigma _{c}$-ben konvergens, és $\sigma <\sigma _{c}$-ben divergens. A mindenütt divergens sorokra $\sigma _{c}=\infty$, és a mindenütt konvergens sorokra $\sigma _{c}=-\infty$. Ez a konvergencia abszcisszája.

A konvergencia abszcisszája

A konvergencia abszcisszájának alternatív definíciója:

$\sigma _{c}=\inf\{\sigma \in \mathbb {R} :\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}{\text{ konvergens minden }}s{\text{ -re, amire Re}}(s)>\sigma \}$.

A $\sigma =\sigma _{c}$ egyenest a konvergencia egyenesének nevezik, a konvergencia félsíkja pedig

$\mathbb {C} _{\sigma _{c}}=\{s\in \mathbb {C} :{\text{Re}}(s)>\sigma _{c}\}.$

A Dirichlet-sorok konvergenciájában a konvergencia abszcisszája, egyenese és félsíkja rendre a hatványsorok konvergenciasugarának, határának és tartományának felel meg.

A hatványsorok határához hasonlóan a Dirichlet-sorok konvergenciaegyenesén is nyitott kérdés a konvergencia. Azonban, ha egy függőleges egyenes egyes pontjain a sor konvergál, és más pontjain divergál, akkor az az egyenes csak a konvergenciaegyenes lehet. A bizonyítás implicit adott a konvergencia abszcisszájának a definíciójában. Például, a

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}e^{-ns},$

sor konvergens $s=-\pi i$-ben, mert az alternáló harmonikus sort adja, és divergál $s=0$-ban, mert a harmonikus sort adja, így $\sigma =0$ a konvergencia egyenese.

Tegyük fel, hogy egy Dirichlet-sor nem konvergál $s=0$-ban. Ekkor definíció szerint $\sigma _{c}\geq 0$, és $\sum a_{n}$ divergál. Másrészt, ha konvergál $s=0$-ban, akkor $\sigma _{c}\leq 0$ és $\sum a_{n}$. Ezzel két képlet adódik $\sigma _{c}$ számítására $\sum a_{n}$ konvergenciájától függően, amit különböző konvergenciakritériumok segítenek belátni. Ezek a Cauchy-Hadamard-tétel képleteihez hasonlóak:

Ha $\sum a_{k}$ divergens, vagyis $\sigma _{c}\geq 0$, akkor $\sigma _{c}$-re:

$\sigma _{c}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}|}{\lambda _{n}}}.$

Ha $\sum a_{k}$ konvergens, vagyis $\sigma _{c}\leq 0$, akkor $\sigma _{c}$-re:

$\sigma _{c}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots |}{\lambda _{n}}}.$

Az abszolút konvergencia abszcisszája

Az abszolút konvergencia definíciója szerint egy $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s},$ Dirichlet-sor abszolút konvergens, ha

$\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}e^{-\lambda _{n}s}|,$

konvergens. Az abszolút konvergenciából következik a konvergencia, de ez fordítva már nem igaz.

Ha egy Dirichlet-sor abszolút konvergens $s_{0}$-ban, akkor abszolút konvergens minden s -re, amire ${\text{Re}}(s)>{\text{Re}}(s_{0})$. Ha a sor csak a komplex számsík egy részén abszolút konvergens, akkor van olyan $\sigma _{a}$, hogy a sor abszolút konvergens minden $\sigma >\sigma _{a}$-ra, és a sor vagy nem konvergál, vagy feltételesen konvergál, ha $\sigma <\sigma _{a}$. Ez a $\sigma _{a}$ az abszolút konvergencia abszcisszája.

Ekvivalensen, az abszolút konvergencia abszcisszája definiálható, mint:

$\sigma _{a}=\inf\{\sigma \in \mathbb {R} :\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}{\text{abszolút konvergens minden }}s{\text{-re, amire Re}}(s)>\sigma \}$.

Az abszolút konvergencia egyenese, illetve félsíkja a közönséges konvergenciához hasonlóan definiálható. A sor konvergenciájától függően $\sigma _{a}$ kétféleképpen számolható:

Ha $\sum |a_{k}|$ divergens, akkor $\sigma _{a}$-ra:

$\sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log(|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|)}{\lambda _{n}}}.$

Ha $\sum |a_{k}|$ konvergens, akkor $\sigma _{a}$-ra:

$\sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log(|a_{n+1}|+|a_{n+2}|+\cdots )}{\lambda _{n}}}.$

Általában az abszolút konvergencia abszcisszája nem egyezik meg a konvergencia abszcisszájával, ezért van egy sáv, amiben a sor feltételesen konvergens. A sáv szélessége:

$0\leq \sigma _{a}-\sigma _{c}\leq L:=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log n}{\lambda _{n}}}.$

Ha a sáv szélessége 0, akkor

$\sigma _{c}=\sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |a_{n}|}{\lambda _{n}}}.$

Mindezek a képletek használhatók a közönséges Dirichlet-sorra is, a $\lambda _{n}=\log n$ helyettesítéssel.

Analitikus tulajdonság

Egy Dirichlet-sor által reprezentált függvény

$f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s},$

analitikus a konvergencia félsíkján. Sőt, minden $k=1,2,3,...$-ra:

$f^{(k)}(s)=(-1)^{k}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\lambda _{n}^{k}e^{-\lambda _{n}s}.$

További általánosítások

A Dirichlet-sor tovább általánosítható többváltozós esetre, ahol $\lambda _{n}\in \mathbb {R} ^{k}$, k = 2, 3, 4,..., és komplex esetre, ahol $\lambda _{n}\in \mathbb {C} ^{m}$, m = 1, 2, 3,...

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a General Dirichlet series című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

• G. H. Hardy, and M. Riesz, The general theory of Dirichlet's series, Cambridge University Press, first edition, 1915
• E. C. Titchmarsh, The theory of functions, Oxford University Press, second edition, 1939
• Tom Apostol, Modular functions and Dirichlet series in number theory, Springer, second edition, 1990
• A.F. Leont'ev, Entire functions and series of exponentials (in Russian), Nauka, first edition, 1982
• A.I. Markushevich, Theory of functions of a complex variables (translated from Russian), Chelsea Publishing Company, second edition, 1977
• J.-P. Serre, A Course in Arithmetic, Springer-Verlag, fifth edition, 1973