Százalék

A százalék a racionális számok (általában arányok) felírásának olyan alakja, amely a szám értékét századokban adja meg, tulajdonképpen az ${\frac {x}{100}}$ alakú törtek egyszerűbb alakja. Jelölésére a százalékjel (%) szolgál, mely azonban nem mértékegység, hanem a ${\frac {}{100}}$ szimbóluma. Az ${\frac {x}{100}}$ tört tehát $x\%$ formában is felírható. Például $0{,}45={\frac {45}{100}}=45\%$.

Százalékszámítás

A százalékszámításban alap az a mennyiség, aminek a valahány százalékát vesszük; százalékláb a százalékban megadott érték, és százalékérték az a mennyiség, ami az alapnak valahány százaléka. Például, ha 200-nak vesszük a 25%-át, akkor az 50 lesz. Itt 200 az alap, 25 a százalékláb, és 50 a százalékérték. A százalékértéket úgy kapjuk meg, hogy összeszorozzuk az alapot a százaléklábbal, és szorzatukat elosztjuk 100-zal.

Az emelések hozzáadódnak, a csökkentések levonódnak. Például, ha valaminek az ára 10%-kal nő, akkor az új ár a régi 110%-a; ha az ár 10%-kal csökken, akkor az új ár a régi 90%-a. Ha többször változik egy mennyiség, akkor ezek a mennyiségek összeszorzódnak, mivel az újabb változás már az előző megváltozással kapott összegre vonatkozik. Például, ha az ár először 10%-kal növekedik, majd 10%-kal csökken, akkor a végső ár az eredetinek (100% + 10%) · (100% − 10%) = 110% · 90% = 1,1 · 0,9 = 0,99 = 99%-a lesz. A szorzás kommutativitása miatt a végeredmény nagysága nem függ a változások sorrendjétől.

Gyakori hiba, hogy az egymást követő emelések és csökkentések százalékos értékét egyszerűen összeadjuk. Ez azonban könnyen beláthatóan téves, mint fentebb is látható. Például p%-os emelés és ezt követő p%-os csökkentés következtében nem az eredeti árat kapjuk vissza, hanem ${\frac {100+p}{100}}\cdot {\frac {100-p}{100}}={\frac {10000-p^{2}}{10000}}$-szorosát. Ez beláthatóan kevesebb, mint a 100%.

A százalék nagysága nemcsak a százaléklábbal egyenesen arányos, hanem az alap nagyságával is, így ugyanaz a százalékláb a nagyobb mennyiségnél többet jelent. Például, ha egy mennyiség 25%-kal nő, akkor egy 20%-os csökkentés a kiindulási mennyiséget adja vissza. Fordítva, egy 20%-os csökkenést egy 25%-os emelkedésnek kell követnie, hogy az eredeti mennyiség visszaálljon.

Az alábbi táblázatban G az alap, W a százalékérték, és p a százalékláb.

Általános képlettel	Arányegyenlettel	Mi az 1%? ${\frac {p\,\%}{42\,{\text{kg}}}}={\frac {100\,\%}{7\,\%}}$
${\frac {p\,\%}{100\,\%}}={\frac {W}{G}}$ többszörös átalakítással: $G={\frac {W}{p\,\%}}\cdot {100\,\%}$ $G={\frac {42\,{\text{kg}}}{7\,\%}}\cdot {100\,\%}=600\,{\text{kg}}$	${\frac {G}{42\,{\text{kg}}}}={\frac {100\,\%}{7\,\%}}$ egyszerű átszámolással: $G={\frac {42\,{\text{kg}}}{7\,\%}}\cdot {100\,\%}=600\,{\text{kg}}$	${\frac {42\,{\text{kg}}:{\color {red}7}}{7\,\%:{\color {red}7}}}={\frac {6\,{\text{kg}}}{1\,\%}}={\frac {6\,{\text{kg}}\cdot {\color {red}100}}{1\,\%\cdot {\color {red}100}}}$ átalakítás nélkül: $G=6\,{\text{kg}}\cdot 100=600\,{\text{kg}}$
Előny: • Egy képlet minden feladathoz	Előnyök: • Nem kell képlet • Egyszerű átalakítás, ha a keresett mennyiség – itt G – bal oldalon a számlálóban áll.	Előnyök: • Nem kell képlet • Fejszámolásnál is használható

A továbbiakban a táblázatban szereplő jelöléseket használjuk.

A százalékszámítás alapképlete:

$p\,\%={\frac {W}{G}}$.

Egy kis átrendezéssel:

$p=100\cdot {\frac {W}{G}}$.

Az alkalmazás céljából a képlet átrendezhető:

$G={\frac {W}{p\,\%}}$

és

$W={p\,\%}\cdot G$.

Példa: Ha egy tömegnek a 7%-a 42 kg, akkor mennyi a teljes tömeg?

• Százalékérték, W: 42 kg
• Százalék, p%: 7%.

Keressük az egészet: G.

A megoldáshoz G-t kell kifejezni:

$G={\frac {W}{p\,\%}}={\frac {42\,{\text{kg}}}{7\,\%}}={\frac {42}{\frac {7}{100}}}\,{\text{kg}}={\frac {42\cdot 100}{7}}\,{\text{kg}}=600\,{\text{kg}}$.

A különféle számológépek nem kezelik egységesen a százalék megadásának módját; ez megzavarhatja a számolást. Ez elkerülhető azzal, hogy a százalékokat törtekként, tizedestörtekként visszük be, vagy pótlólag osztunk százzal.

Százalék és tört alak átváltása

A százalékjel helyettesíthető az $\cdot {\tfrac {1}{100}}$ szorzással. Például: : 50 % egyenlő $50\cdot {\tfrac {1}{100}}$-zal, illetve ${\tfrac {50}{100}}$-dal, ami egyszerűsíthető ${\tfrac {1}{2}}$-re.

Megfordítva, a valahányad rész úgy számítható át, hogy 100%-kal szorozzuk. Például:

${\tfrac {3}{4}}={\tfrac {3}{4}}\cdot 100\,\%={\tfrac {3\cdot 100}{4}}\,\%=75\,\%$

Alkalmazások

A százalékok sok helyen felbukkannak. Az árak, a bérek megváltozását, az adókat, a kamatokat, és a kedvezményeket százalékokban szokás kifejezni.

A százalék alkalmazása előtt meg kell győződni arról, hogy a feladat megadása korrekt-e, illetve van-e egyáltalán értelme százalékról, tehát arányról beszélni. Így például nincs értelme annak, hogy a Celsius-fokban vagy Fahrenheit-fokban kifejezett hőmérséklet hány százalékkal nőtt, hiszen ezeknek a skáláknak a nullapontjai nem természetesek (másként fogalmazva: a Celsius-fokban vagy Fahrenheit-fokban kifejezett hőmérséklet nem arányos a belső energiával). Ezzel szemben kelvinben megadott hőmérséklet megváltozását már van értelme arányként, azaz akár százalékban megadni, hiszen a kelvinben megadott hőmérséklet szoros kapcsolatban áll a rendszer energiatartalmával. Így ha egy hőmérséklet százalékos megváltozásáról beszélünk, mindig a kelvinben kifejezett hőmérsékletet kell alapul venni.

Pl. ha egy 25 Celsius-fokos test hőmérsékletét 10%-kal megnövelem, annak hőmérséklete 54,815 Celsius-fok lesz:

1. $25\;^{\circ }\mathrm {C} =\left(25+273{,}15\right)\mathrm {K} =298,15\,\mathrm {K}$
2. $298{,}15\,\mathrm {K} \cdot \left(100\,\%+10\,\%\right)=298{,}15\,\mathrm {K} \cdot 1{,}1=327{,}965\,\mathrm {K} =54{,}815\;^{\circ }\mathrm {C}$
3. $327{,}965\,\mathrm {K} =\left(327{,}965-273{,}15\right)\;^{\circ }\mathrm {C} =54{,}815\;^{\circ }\mathrm {C}$

Meredekségek

„Veszélyes emelkedő” KRESZ-tábla

A technikában a meredekséget szintén százalékban adják meg. A százalékban megadott érték a szintkülönbség és a vízszintes szakasz hányadosa. A 10%-os meredekség azt jelenti, hogy 100 méteren 10 méter az emelkedés (10m/100m=0,1=10%). Ügyelni kell a mértékegységekre; ha 100 méteren 6 centiméter (=0,06 méter) a szintkülönbség, akkor az emelkedés 0,06%-os lesz (0,06m/100m=0,0006=0,06%). Az így megadott meredekség tulajdonképpen az emelkedési szög tangense; például, ha az emelkedési szög 45 fok, akkor a meredekség 100%, a tangens pedig 1.

Az utakon a jelzőtáblákra nem az útszakasz átlagos meredekségét, hanem a legnagyobb meredekségét írják fel. Vasutaknál 1%, hegyi utakon 10%-30%, sípályákon 100%-ig, és szerepel még néhány extrém eset illusztrációként:

Tipikus meredekségek:

Meredekség $p$	Szög $\alpha$ (ca.)
0‰ (= 0,0%)	00,0°0
1‰ (= 0,1%)	00,057°
3‰ (= 0,3%)	00,17°0
01%	00,57°0
03%	01,72°0
08%	04,57°0
010%	05,71°0
012%	06,84°0
015%	08,53°0
020%	11,3°0
025%	14,0°0
030%	16,7°0
040%	21,8°0
050%	26,6°0
070%	35,0°0
0100%	45,0°0
0200%	63,4°0
0500%	78,7°0
01000%	84,3°0
10000%	89,4°0
∞ (végtelen) %	90,0°0

Anyagok keverése

Anyagok keverésénél több szempontból is figyelni kell:

A százalék az oldószer 100 egységére jutó oldott anyagot, vagy a kész oldatban levő oldott anyag arányát adja meg. Az első szerepel az oldhatósági adatoknál, a második a koncentrációknál.

A százalékos adat térfogatra vagy tömegre vonatkozik-e. A két anyag sűrűsége nem egyezik meg, így a két százalékos adat különböző.

Például a víz és az alkohol keverékében az alkohol sűrűsége alacsonyabb (ca. 0,8 g/cm³), így az alkoholos italok tömegszázaléka kisebb, mint a térfogatszázaléka. Például az 50 térfogatszázalékos pálinka tömegszázaléka 44,4%.

Áfa

Gyakori példa az áfa kiszámítása. Mivel a legtöbb helyen az ár már tartalmazza, azért a vásárlóknak többnyire nem kell külön kiszámolniuk. Ez többnyire a céges beszerzéseket és a kereskedőket érinti.

Az áfát is magában foglaló ár az áremeléses példához hasonlóan működik:

• Az áfát megkapjuk, ha a nettó érték és az áfa százaléklábának szorzatát elosztjuk százzal. Ezt hozzáadva a nettó árhoz megkapjuk a bruttó árat.
• A bruttó ár megkapható, ha az egyet megnöveljük a százalékkal kifejezett értékkel, és ezt beszorozzuk a nettó árral.

Például, ha az ár 100 euró, és az áfa 19%-os, akkor a bruttó ár számolása:

• Az első módszerrel 100 euró · 19% = 100 euró · 0,19 = 19 euró. Ezt hozzáadva a nettó árhoz: 100 euró + 19 euró = 119 euró.
• A második módszerrel bruttó = nettó · (1 + 19 %) = nettó · (1 + 0,19) = nettó · 1,19.
• A második módszer képletének átrendezésével a többi mennyiség is kiszámítható.

A nyelvhasználat a mindennapokban nem matematikai pontosságú. Így keletkezhetnek a következő kijelentések:

• Az áfa 19%.

Értsd: Az áfa tétele 19%.

• A számla 19% áfát tartalmaz.

Értsd: Ez a bruttó összeg, amibe bele van számolva 19%-os áfa.

• Az összeg 19%-a áfa.

Értsd: Ez a bruttó összeg, amibe bele van számolva 19%-os áfa. A bruttó összeg nagyobb, mint a nettó, így a beleszámolt áfa értéke hozzá képest nem 19%, hanem csak ~15,97%.

• A zsebpénzemet 50%-kal megemelték.

Az emelés a régi értékhez képest értendő. Ha 10 euró volt, akkor az új érték 15 euró, aminek az 5 euró már csak 33+1/3%-a.

• A zsebpénzem 50%-a kiegészítés a mamától.

A zsebpénz 50%-a, azaz 7,5 euró származik a mamától.

A százalékjel helyesírása

A %-jelet a százalékláb után szóköz nélkül írjuk. A toldalékolás a jelhez kötőjellel kapcsolódik.

Eredete

A százalékszámítás eredete az ókori Római Birodalomig nyúlik vissza. A számítások egyszerűsítése végett ugyanis ott a kamatokat, adókat 100 egységre határozták meg. Ez a százalék régies nevének, a percentnek is az eredete: a per cent magyarra fordítva százanként. Mivel a középkorban a pénzmennyiség egyre nőtt, a 100-as nevezővel egyre gyakoribbak voltak a számítások, így a százalékszámítás sztenderdizálódott. A XV-XVI. századtól a százalékszámítás a szokásos számtani műveletek közé került.

Források

• Sain Márton. Nincs királyi út (PDF), Budapest: Gondolat [1986]. ISBN 963 281 7044. Hozzáférés ideje: 2022. november 28. 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Prozent című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Kapcsolódó szócikkek

• Ezrelék
• 100

További információk

• Százalékszámítás.hu Archiválva 2013. május 15-i dátummal a Wayback Machine-ben
• Százalékszámítás
• Matekarcok
• Százalék-kalkulátor