Unió (halmazelmélet)
- Az unió szó további jelentéseihez lásd az Unió (egyértelműsítő lap) című szócikket.
Az unió a halmazelmélet egy művelete, ami két vagy több halmazból úgy képez egy új halmazt, hogy az így létrejövő halmaz az eredeti halmazok összes elemét tartalmazza és más elemet ne tartalmazzon.
Definíció[szerkesztés]
Ha és halmazok, akkor az és egyesítésének (vagy más szóval uniójának) nevezzük és (szóban: „á unió bé”) módon jelöljük azon elemek összességét, melyek illetve közül legalább az egyikben benne vannak. Ezt szimbolikusan így írjuk: .
Megjegyzés: Azt, hogy halmaz, az úgynevezett egyesítési axióma mondja ki.
Hasonlóan el lehet készíteni egy akárhány halmazból álló halmazrendszer elemeinek unióját:
Legyenek tetszőleges halmazok, ahol tetszőleges indexhalmaz. Az halmazok egyesítése (vagy más néven uniója) a következő halmaz:
.
Tulajdonságok[szerkesztés]
Az halmazok egyesítése idempotens, kommutatív, asszociatív művelet, azaz tetszőleges , , halmazok esetén:
- ; (idempotencia)
- ; (kommutativitás)
- ; (asszociativitás[1])
illetve az egyesítés disztributív a metszet műveletre, és a metszet művelet disztributív az egyesítésre:
- ; (disztributivitás)
- ; (disztributivitás)
továbbá:
További információk[szerkesztés]
Jegyzetek[szerkesztés]
- ↑ Lásd még az asszociativitás szócikket.
Hivatkozások[szerkesztés]
- Szendrei, Ágnes: Diszkrét matematika. Logika, algebra, kombinatorika, Polygon JATE Press, Szeged, 1994